Resolva pelos SIMPLEX 2-Fases, M-Grande e Gráfico (Quando possível)
Dado o seguinte conjunto de restrições:
cc x1+x2+x3 & =7 2 x1-5 x2+x3 & >= 10 x1, x2, x3 & >= 0
Resolva o PPL para cada uma das seguintes funções objetivos:
(a) max f(x)=2 x1+3 x2-5 x3

Passo 1

Estamos com o PPL
max f(x)=2x1+3x2-5x3, x1+x2+x3=7, 2x1-5x2+x3>= 10, x1,x2,x3>=0
O conteúdo aqui é “métodos simplex para PPL com igualdade e desigualdade”: vamos usar (i) Simplex 2-Fases, (ii) Big M (M-Grande) e (iii) método gráfico.

Passo 2

(Simplex 2-Fases)
  1. Transformação em forma padrão com variáveis artificiais
  2. Fase 1: minimizar , montamos o tableau, eliminamos e achamos , o que garante existência de solução viável original.
  3. Fase 2: removemos colunas de e substituímos por . Continuamos o simplex a partir do último tableau da Fase 1 e obtemos, após dois pivôs adicionais, a solução básica ótima.

Passo 3

(Resultado do Simplex 2-Fases)
Depois de eliminar as variáveis artificiais e otimizar, chega-se ao vértice
x1=tfrac457, x2=tfrac47, x3=0,
com valor ótimo
fmax =2cdottfrac457 +3cdottfrac47 -5cdot0 =tfrac90+127 =tfrac1027

Passo 4

(Big M)
  1. Escrevemos o problema em forma padrão igual ao da Fase 1, mas já montamos a função penalizada
max;Z =2x1+3x2-5x3 - M,a1 - M,a2,
com M “muito grande”.
2. Construímos o tableau inicial com base artificial a1,a2, coefficientes -M nas colunas de a1,a2.
3. Aplicamos simplex normalmente, pivotamos para eliminar a1,a2 da base e depois seguimos até que todos os custos reduzidos sejam <=0.
4. O tableau final também dá
x1=tfrac457,; x2=tfrac47,; x3=0, Zmax=tfrac1027

Passo 5

(Método Gráfico)
  1. Da igualdade x1+x2+x3=7 tire x3=7-x1-x2.
  2. A desigualdade fica
2x1-5x2+(7-x1-x2)>=10 ;Longrightarrow; x1-6x2>=3 ;Longrightarrow; x1>=3+6x2
  1. Ainda exige x3>=0, isto é x1+x2<=7, e x1,x2>=0. O polígono viável em (x1,x2) é o segmento entre os vértices
(3,0)el(tfrac457,,tfrac47r),
que correspondem em (x1,x2,x3) a
(3,0,4) e (tfrac457,tfrac47,0).
4. Avaliando f nos dois pontos:
f(3,0,4)=6-20=-14, fl(tfrac457,tfrac47,0r)=tfrac1027approx14,57
Logo o máximo ocorre em l(tfrac457,tfrac47,0r).

Resposta

A solução ótima para max f=2x1+3x2-5x3 é
x1=457, x2=47, x3=0, fmax=1027

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