Exercício 3 - Para a análise granulométrica mostrada na tabela abaixo construa as curvas de distribuição de frequência, distribuição cumulativa, determine o modelo a 2 parâmetros que melhor se ajusta aos dados experimentais e calcule o diâmetro médio de Sauter.
Exemplo de Resultado da Análise Granulométrica:
Resultados do peneiramento, sistema Tyler, de uma amostra de 243,1 gramas empregada na construção civil
Sistema (mesh) abertura da peneira (mm) massa retida (g) fração em massa retida ( ) X
+8 2,38 12,6
-8+10 1,68 38,7
1,19 50
-14 +20 0,841 63,7
0,595 32,5
0,42 17,4
0,297 11,2
0,21 7,8
0,149 3,7
0,105 2,6
0,074 1,8
-200 1,1
243,1
X fração em massa de partículas com diâmetro menor que D (d#)

Passo 1

A análise granulométrica consiste em determinar para cada classe de diâmetros Di a fração em massa retida De<a xi e a fração cumulativa que passa pela peneira de abertura Di, X(Di). O conteúdo envolve:
  • Cálculo de De<a xi = mi / M, onde M=243,1 g é a massa total.
  • Cálculo da distribuição cumulativa X(Di)=l(M-sumDj>= Dimjr)/M.
  • Ajuste de modelo de duas parâmetros (Rosin–Rammler)
  • Cálculo do diâmetro médio de Sauter D32=sum De<a xi Di^3/sum De<a xi Di^2.

Passo 2

Calculemos e . Tomamos para cada intervalo a abertura ou a média geométrica quando há dois limites.
Intervalo (mm) (g)
(geom.)
^*
* Em mm passou o restante.
A curva de distribuição de frequência é vs.\ (em escala logarítmica no eixo ), e a cumulativa é vs.\ .

Passo 3

Para ajustar o modelo de Rosin–Rammler de dois parâmetros, usamos
Q(D)=X(D)=1-expl[-(D/R)^ar]
e linearizamos:
lnl[-ln(1-Q)r]=a,ln D - a,ln R
Calculamos para cada Di e Qi=X(Di) os pares l(ln Di,;ln[-ln(1-Qi)]r) e ajustamos uma reta por mínimos quadrados.
Esse ajuste dá, numericamente,
a approx 1,8, ln R approx 0,267 Longrightarrow R = e^0,267approx1,31 mm

Passo 4

Calculamos o diâmetro médio de Sauter
D32=sumi De<a xi,Di^3sumi De<a xi,Di^2
Substituindo os valores de De<a xi e Di obtemos numericamente
sumi De<a xi,Di^3approx2,174, sumi De<a xi,Di^2approx1,403,
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D32approx2,1741,403approx1,55 mm

Resposta

Parâmetros do modelo Rosin–Rammler:
a approx 1,8, R approx 1,31 mm
Diâmetro médio de Sauter:
D32approx 1,55 mm

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