Resolva simultaneamente os sistemas lineares reduzindo a matriz aumentada.
\left\{\begin{array}{c}-x+4 y+z=b_{1} \\\ x+9 y-2 z=b_{2} \\\\ 6 x+4 y-8 z=b_{3}\end{array}\right.
b) b_{1}=0, b_{2}=1, b_{3}=0 ii) b_{1}=-3, b_{2}=4, b_{3}=-5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} - x + 4y + z = b_{1},\\\ x + 9y - 2z = b_{2},\\\\ 6x + 4y - 8z = b_{3} \end{cases}
pelo método da eliminação de Gauss (redução da matriz aumentada). Vamos formar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma triangular superior e então obter x,y,z em função de b_{1},b_{2},b_{3}. Depois, substituiremos os dois conjuntos (b_{1},b_{2},b_{3}) fornecidos.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 (pivotar em x com coeficiente 1):
\begin{pmatrix} 1 & 9 & -2 & b_{2}\\\\ -1 & 4 & 1 & b_{1}\\\\ 6 & 4 & -8 & b_{3} \end{pmatrix}.
Agora eliminamos x em R2 e R3:
R2 \leftarrow R 2+ R1 e R3 \leftarrow R3 -6 \timesR1, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 9 & -2 & b_{2}\\\\ 0 & 13 & -1 & b_{1}+b_{2}\\\\ 0 & -50 & 4 & b_{3}-6\,b_{2} \end{pmatrix}.

Passo 3

Em seguida, eliminamos o termo em y da terceira linha usando
\text{R3}\;\leftarrow\;\text{R3} + \frac{50}{13}\,\text{R2}.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 9 & -2 & b_{2}\\\\ 0 & 13 & -1 & b_{1}+b_{2}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{2}{13} & \frac{b_{3}-6b_{2}}{1} + \frac{50}{13}(b_{1}+b_{2}) \end{pmatrix}.
O termo do canto inferior-direito simplifica-se a
\frac{b_{3}-6b_{2}}{1} + \frac{50}{13}(b_{1}+b_{2}) =\frac{13(b_{3}-6b_{2}) + 50(b_{1}+b_{2})}{13} =\frac{50b_{1} + 13b_{3} -28b_{2}}{13}.

Passo 4

Da terceira linha, o pivô em z é \tfrac{2}{13}, logo
z \;=\;\frac{\displaystyle\frac{50b_{1}+13b_{3}-28b_{2}}{13}}{\tfrac{2}{13}} =\frac{50b_{1}+13b_{3}-28b_{2}}{2}.

Passo 5

Voltando à segunda linha, temos
13\,y \;-\;1\cdot z \;=\; b_{1}+b_{2} \quad\Longrightarrow\quad y \;=\;\frac{b_{1}+b_{2}+z}{13}.
E da primeira linha,
x + 9y - 2z = b_{2} \quad\Longrightarrow\quad x = b_{2} - 9y + 2z.
Com isso, x,y,z ficam expressos em função de b_{1},b_{2},b_{3}.

Passo 6

Caso (i): b_{1}=0, b_{2}=1, b_{3}=0.
z = \frac{50\cdot 0 + 13\cdot 0 -28\cdot 1}{2} = -14,
y = \frac{0 + 1 + (-14)}{13} = -1,
x = 1 - 9\cdot(-1) + 2\cdot(-14) = 1 + 9 -28 = -18.

Passo 7

Caso (ii): b_{1}=-3, b_{2}=4, b_{3}=-5.
z = \frac{50(-3) + 13(-5) -28\cdot 4}{2} = \frac{-150 -65 -112}{2} = -\frac{327}{2},
y = \frac{-3 + 4 + \bigl(-\tfrac{327}{2}\bigr)}{13} = \frac{1 - \tfrac{327}{2}}{13} = -\frac{25}{2},
x = 4 - 9\!\bigl(-\tfrac{25}{2}\bigr) + 2\!\bigl(-\tfrac{327}{2}\bigr) = 4 + \tfrac{225}{2} - 327 = -\frac{421}{2}.

Resposta

(i) (x,y,z)=(-18,\,-1,\,-14)
(ii) \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(-\tfrac{421}{2},\,-\tfrac{25}{2},\,-\tfrac{327}{2}\bigr)

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