e pede para calcular 4 passos do método de Gauss–Seidel partindo de x^{(0)}=(0,0,0).
Informações relevantes fornecidas:
Sistema de três equações em três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
Vetor inicial \;x^{(0)}=(0,0,0).
Solicita-se as quatro primeiras iterações \;x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)} obtidas por Gauss–Seidel.
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas iterativas isolando cada variável em sua equação (isso é o que o método pede: resolver cada equação para a incógnita correspondente).
Ou seja, sempre que uma componente é atualizada na iteração corrente, essa nova componente é usada imediatamente nas atualizações seguintes da mesma iteração (é a diferença principal para Jacobi).
Antes de calcular, uma observação útil sobre convergência: se a matriz do sistema é estritamente diagonalmente dominante por linhas, Gauss–Seidel converge. Aqui, os coeficientes diagonais têm módulos 10,\;5,\;10 e as somas dos módulos das outras entradas nas linhas são 2,\;2,\;6. Em cada linha o termo diagonal tem módulo maior que a soma dos outros módulos, logo há dominância diagonal estrita e podemos confiar que as iterações convergirão.
Passo 3
Agora aplicamos as fórmulas partindo de x^{(0)}=(0,0,0). Cálculo da 1ª iteração (x^{(1)}) passo a passo.
Calcular x_{1}^{(1)} usando x_{2}^{(0)}=0 e x_{3}^{(0)}=0:
Comentário final curto e motivador: as iterações estão rapidamente aproximando-se de (1,\;2,\;3). Isso era de esperar pela dominância diagonal que garantiu convergência. Mandou bem em pedir os passos — agora você tem a receita para replicar nas próximas questões 😃