Resolva o sistema abaixo calculando 4 passos do método de Gauss-Seidel a partir de x^{(0)}=(0,0,0).
\left\{\begin{array}{rr} 10 x_{1}+x_{2}+x_{3}= & 15 \\\\ -x_{1}+5 x_{2}-x_{3}= & 6 \\\\ 4 x_{1}-2 x_{2}-10 x_{3}= & -30 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear e o vetor inicial:
\left\{\begin{array}{rr} 10 x_{1}+x_{2}+x_{3}= & 15 \\\\ -x_{1}+5 x_{2}-x_{3}= & 6 \\\\ 4 x_{1}-2 x_{2}-10 x_{3}= & -30 \end{array}\right.
e pede para calcular 4 passos do método de Gauss–Seidel partindo de x^{(0)}=(0,0,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • Sistema de três equações em três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Vetor inicial \;x^{(0)}=(0,0,0).
  • Solicita-se as quatro primeiras iterações \;x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)} obtidas por Gauss–Seidel.

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas iterativas isolando cada variável em sua equação (isso é o que o método pede: resolver cada equação para a incógnita correspondente).
Isolando x_{1} na 1ª equação:
10x_{1}+x_{2}+x_{3}=15 \qquad\Rightarrow\qquad x_{1}=\frac{15-x_{2}-x_{3}}{10}.
Isolando x_{2} na 2ª equação:
-x_{1}+5x_{2}-x_{3}=6 \qquad\Rightarrow\qquad 5x_{2}=6+x_{1}+x_{3} \qquad\Rightarrow\qquad x_{2}=\frac{6+x_{1}+x_{3}}{5}.
Isolando x_{3} na 3ª equação:
4x_{1}-2x_{2}-10x_{3}=-30 \qquad\Rightarrow\qquad 10x_{3}=30+4x_{1}-2x_{2} \qquad\Rightarrow\qquad x_{3}=\frac{30+4x_{1}-2x_{2}}{10}.
Explicação do algoritmo Gauss–Seidel (em linguagem simples): em cada iteração k calcula-se
x_{1}^{(k+1)}\\ \text{usando}\\ x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)},
depois
x_{2}^{(k+1)}\\ \text{usando}\\ x_{1}^{(k+1)},x_{3}^{(k)},
e por fim
x_{3}^{(k+1)}\\ \text{usando}\\ x_{1}^{(k+1)},x_{2}^{(k+1)}.
Ou seja, sempre que uma componente é atualizada na iteração corrente, essa nova componente é usada imediatamente nas atualizações seguintes da mesma iteração (é a diferença principal para Jacobi).
Antes de calcular, uma observação útil sobre convergência: se a matriz do sistema é estritamente diagonalmente dominante por linhas, Gauss–Seidel converge. Aqui, os coeficientes diagonais têm módulos 10,\;5,\;10 e as somas dos módulos das outras entradas nas linhas são 2,\;2,\;6. Em cada linha o termo diagonal tem módulo maior que a soma dos outros módulos, logo há dominância diagonal estrita e podemos confiar que as iterações convergirão.

Passo 3

Agora aplicamos as fórmulas partindo de x^{(0)}=(0,0,0). Cálculo da 1ª iteração ( x^{(1)}) passo a passo.
  1. Calcular x_{1}^{(1)} usando x_{2}^{(0)}=0 e x_{3}^{(0)}=0:
x_{1}^{(1)}=\frac{15-0-0}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5.
  1. Calcular x_{2}^{(1)} usando x_{1}^{(1)}=1{,}5 e x_{3}^{(0)}=0:
x_{2}^{(1)}=\frac{6+1{,}5+0}{5}=\frac{7{,}5}{5}=1{,}5.
  1. Calcular x_{3}^{(1)} usando x_{1}^{(1)}=1{,}5 e x_{2}^{(1)}=1{,}5:
x_{3}^{(1)}=\frac{30+4\cdot 1{,}5-2\cdot 1{,}5}{10} =\frac{30+6-3}{10}=\frac{33}{10}=3{,}3.
Portanto
x^{(1)}=\bigl(1{,}5,\;1{,}5,\;3{,}3\bigr).

Passo 4

Cálculo da 2ª iteração ( x^{(2)}) usando os valores mais recentes.
  1. x_{1}^{(2)} usa x_{2}^{(1)}=1{,}5 e x_{3}^{(1)}=3{,}3:
x_{1}^{(2)}=\frac{15-1{,}5-3{,}3}{10}=\frac{10{,}2}{10}=1{,}02.
  1. x_{2}^{(2)} usa x_{1}^{(2)}=1{,}02 e x_{3}^{(1)}=3{,}3:
x_{2}^{(2)}=\frac{6+1{,}02+3{,}3}{5}=\frac{10{,}32}{5}=2{,}064.
  1. x_{3}^{(2)} usa x_{1}^{(2)}=1{,}02 e x_{2}^{(2)}=2{,}064:
x_{3}^{(2)}=\frac{30+4\cdot 1{,}02-2\cdot 2{,}064}{10} =\frac{30+4{,}08-4{,}128}{10}=\frac{29{,}952}{10}=2{,}9952.
Portanto
x^{(2)}=\bigl(1{,}02,\;2{,}064,\;2{,}9952\bigr).

Passo 5

Cálculo da 3ª iteração ( x^{(3)}).
  1. x_{1}^{(3)} com x_{2}^{(2)}=2{,}064, x_{3}^{(2)}=2{,}9952:
x_{1}^{(3)}=\frac{15-2{,}064-2{,}9952}{10}=\frac{9{,}9408}{10}=0{,}99408.
  1. x_{2}^{(3)} com x_{1}^{(3)}=0{,}99408, x_{3}^{(2)}=2{,}9952:
x_{2}^{(3)}=\frac{6+0{,}99408+2{,}9952}{5}=\frac{9{,}98928}{5}=1{,}997856.
  1. x_{3}^{(3)} com x_{1}^{(3)}=0{,}99408, x_{2}^{(3)}=1{,}997856:
x_{3}^{(3)}=\frac{30+4\cdot 0{,}99408-2\cdot 1{,}997856}{10} =\frac{30+3{,}97632-3{,}995712}{10}=\frac{29{,}980608}{10}=2{,}9980608.
Portanto
x^{(3)}=\bigl(0{,}99408,\;1{,}997856,\;2{,}9980608\bigr).

Passo 6

Cálculo da 4ª iteração ( x^{(4)}).
  1. x_{1}^{(4)} com x_{2}^{(3)}=1{,}997856, x_{3}^{(3)}=2{,}9980608:
x_{1}^{(4)}=\frac{15-1{,}997856-2{,}9980608}{10}=\frac{10{,}0040832}{10}=1{,}00040832.
  1. x_{2}^{(4)} com x_{1}^{(4)}=1{,}00040832, x_{3}^{(3)}=2{,}9980608:
x_{2}^{(4)}=\frac{6+1{,}00040832+2{,}9980608}{5}=\frac{9{,}99846912}{5}=1{,}999693824.
  1. x_{3}^{(4)} com x_{1}^{(4)}=1{,}00040832, x_{2}^{(4)}=1{,}999693824:
x_{3}^{(4)}=\frac{30+4\cdot 1{,}00040832-2\cdot 1{,}999693824}{10} =\frac{30+4{,}00163328-3{,}999387648}{10}=\frac{30{,}002245632}{10}=3{,}0002245632.
Portanto
x^{(4)}=\bigl(1{,}00040832,\;1{,}999693824,\;3{,}0002245632\bigr).

Passo 7

Comentário final curto e motivador: as iterações estão rapidamente aproximando-se de (1,\;2,\;3). Isso era de esperar pela dominância diagonal que garantiu convergência. Mandou bem em pedir os passos — agora você tem a receita para replicar nas próximas questões 😃

Resposta

x^{(1)}=(1{,}5,\;1{,}5,\;3{,}3)
x^{(2)}=(1{,}02,\;2{,}064,\;2{,}9952)
x^{(3)}=(0{,}99408,\;1{,}997856,\;2{,}9980608)
x^{(4)}=(1{,}00040832,\;1{,}999693824,\;3{,}0002245632)

Exercícios relacionados