Q5: Um sistema em 16 variáveis
(A) com 18 equações pode ter solução única.
(B) com 14 equações pode ter solução única.
(C) homogêneo com 9 equações pode ter solução única.
(D) com 15 equações sempre tem infinitas soluções.
(E) com 23 equações nunca tem solução.
(A) com 18 equações pode ter solução única.
(B) com 14 equações pode ter solução única.
(C) homogêneo com 9 equações pode ter solução única.
(D) com 15 equações sempre tem infinitas soluções.
(E) com 23 equações nunca tem solução.
Passo 1
O enunciado é curto: temos um sistema linear com
variáveis. Foram dadas cinco afirmativas (A)–(E) sobre possibilidade de soluções conforme o número de equações ou se é homogêneo. Vou listar cada uma delas para que fique claro o que se pede:
- (A) Um sistema com
equações pode ter solução única. - (B) Um sistema com
equações pode ter solução única. - (C) Um sistema homogêneo com
equações pode ter solução única. - (D) Um sistema com
equações sempre tem infinitas soluções. - (E) Um sistema com
equações nunca tem solução.
O objetivo implícito é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras ou falsas, usando somente o fato de que há
variáveis.
Passo 2
Conceitos-chave (explicadinhos, como em prova):
- Denotemos por
o número de variáveis. Aqui . - Denotemos por
o número de equações (cada item dá um diferente). - Para um sistema linear representado por uma matriz
de tamanho , a (posto) satisfaz
Isso significa que o posto não pode ser maior que o número de equações nem que o número de incógnitas.
- Tipos de solução, de forma prática:
- O sistema homogêneo
é sempre consistente (tem sempre a solução trivial ). Ele terá solução única (apenas a trivial) se, e só se, . Caso contrário, terá infinitas soluções. - Um sistema não homogêneo
é consistente se pertence ao espaço coluna de . Se for consistente e , então a solução é única. Se for consistente e , então há infinitas soluções. Se for inconsistente, não há solução.
- O sistema homogêneo
- Consequência útil e simples: para existir solução única (no caso homogêneo ou não) é necessário que
. Como , um requisito necessário para solução única é . Em palavras: é impossível ter solução única se houver menos equações do que variáveis.
Passo 3
Analisando (A):
e
.
- Aqui
. É perfeitamente possível ter (o posto máximo) e escolher no espaço coluna para que o sistema seja consistente. - Um exemplo construtivo e simples: tomar as primeiras
equações independentes que fixem todas as variáveis (por exemplo ,) e as outras equações serem combinações lineares das primeiras (ou repetidas). Então o posto é e o sistema tem solução única (no exemplo, a solução única ). Logo (A) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (B):
e
.
- Aqui
. Pelo fato de , segue . Portanto não é possível ter . - Como para ter solução única é preciso
, concluímos que NÃO pode haver solução única quando só há equações. Portanto (B) é falsa.
Passo 5
Analisando (C): sistema homogêneo com
equações e
variáveis.
- Homogêneo garante consistência, mas de novo
. Logo . - Para que a solução homogênea seja única (apenas a trivial) seria preciso
, o que é impossível. Então o sistema homogêneo terá necessariamente infinitas soluções não triviais. Portanto (C) é falsa.
Passo 6
Analisando (D):
equações com
variáveis; afirma-se que sempre há infinitas soluções.
- Como em (B) e (C), temos
e , então não existe possibilidade de solução única — ou seja, nunca haverá solução única. - Porém a frase diz “sempre tem infinitas soluções”. Isto falha porque o sistema pode ser inconsistente (não ter nenhuma solução). Exemplo-contraponto simples: entre as
equações inclua e também ; essas duas juntas tornam o sistema inconsistente (sem solução). Logo nem sempre há infinitas soluções; pode não haver solução. Portanto (D) é falsa.
Passo 7
Analisando (E):
equações e
variáveis; afirma-se que nunca tem solução.
- Como em (A), quando
é possível ter e escolher compatível (ou fazer as equações adicionais dependentes), então o sistema pode ser consistente e até ter solução única. - Exemplo concreto que mostra possibilidade de solução: tomar as primeiras
equações independentes que fixem todas as variáveis (por exemplo para ,) e as equações restantes serem repetições ou combinações lineares das primeiras. Isso resulta em solução (única, no exemplo). Logo não é verdade que com equações “nunca” haja solução. Portanto (E) é falsa.
Passo 8
Resumo final do raciocínio rápido:
- Única afirmativa verdadeira é (A): com
equações é possível ter solução única. - (B), (C), (D) e (E) são falsas pelos argumentos dados (muito ligado ao fato de que para solução única precisa
e , e que existência de mais equações não garante impossibilidade de solução).
Força aí — concentração e revisa esse tipo de argumento porque é tema clássico e muito cobrado: comparar
,
e o posto.
Resposta
A