Q5: Um sistema em 16 variáveis
(A) com 18 equações pode ter solução única.
(B) com 14 equações pode ter solução única.
(C) homogêneo com 9 equações pode ter solução única.
(D) com 15 equações sempre tem infinitas soluções.
(E) com 23 equações nunca tem solução.

Passo 1

O enunciado é curto: temos um sistema linear com 16 variáveis. Foram dadas cinco afirmativas (A)–(E) sobre possibilidade de soluções conforme o número de equações ou se é homogêneo. Vou listar cada uma delas para que fique claro o que se pede:
  • (A) Um sistema com 18 equações pode ter solução única.
  • (B) Um sistema com 14 equações pode ter solução única.
  • (C) Um sistema homogêneo com 9 equações pode ter solução única.
  • (D) Um sistema com 15 equações sempre tem infinitas soluções.
  • (E) Um sistema com 23 equações nunca tem solução.
O objetivo implícito é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras ou falsas, usando somente o fato de que há 16 variáveis.

Passo 2

Conceitos-chave (explicadinhos, como em prova):
  • Denotemos por n o número de variáveis. Aqui n=16.
  • Denotemos por m o número de equações (cada item dá um m diferente).
  • Para um sistema linear representado por uma matriz A de tamanho m\times n, a \text{rank}(A) (posto) satisfaz
\text{rank}(A)\le \min(m,n).
Isso significa que o posto não pode ser maior que o número de equações nem que o número de incógnitas.
  • Tipos de solução, de forma prática:
    • O sistema homogêneo A x=0 é sempre consistente (tem sempre a solução trivial x=0). Ele terá solução única (apenas a trivial) se, e só se, \text{rank}(A)=n. Caso contrário, terá infinitas soluções.
    • Um sistema não homogêneo A x=b é consistente se b pertence ao espaço coluna de A. Se for consistente e \text{rank}(A)=n, então a solução é única. Se for consistente e \text{rank}(A)<n, então há infinitas soluções. Se for inconsistente, não há solução.
  • Consequência útil e simples: para existir solução única (no caso homogêneo ou não) é necessário que \text{rank}(A)=n. Como \text{rank}(A)\le m, um requisito necessário para solução única é m\ge n. Em palavras: é impossível ter solução única se houver menos equações do que variáveis.

Passo 3

Analisando (A): m=18 e n=16.
  • Aqui m\ge n. É perfeitamente possível ter \text{rank}(A)=16 (o posto máximo) e escolher b no espaço coluna para que o sistema seja consistente.
  • Um exemplo construtivo e simples: tomar as primeiras 16 equações independentes que fixem todas as variáveis (por exemplo \,x_1=0,\;x_2=0,\dots,x_{16}=0,) e as outras 2 equações serem combinações lineares das primeiras (ou repetidas). Então o posto é 16 e o sistema tem solução única (no exemplo, a solução única x=0). Logo (A) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (B): m=14 e n=16.
  • Aqui m<n. Pelo fato de \text{rank}(A)\le m, segue \text{rank}(A)\le 14<16. Portanto não é possível ter \text{rank}(A)=16.
  • Como para ter solução única é preciso \text{rank}(A)=16, concluímos que NÃO pode haver solução única quando só há 14 equações. Portanto (B) é falsa.

Passo 5

Analisando (C): sistema homogêneo com m=9 equações e n=16 variáveis.
  • Homogêneo garante consistência, mas de novo \text{rank}(A)\le \min(9,16)=9. Logo \text{rank}(A)\le 9<16.
  • Para que a solução homogênea seja única (apenas a trivial) seria preciso \text{rank}(A)=16, o que é impossível. Então o sistema homogêneo terá necessariamente infinitas soluções não triviais. Portanto (C) é falsa.

Passo 6

Analisando (D): m=15 equações com n=16 variáveis; afirma-se que sempre há infinitas soluções.
  • Como em (B) e (C), temos m<n e \text{rank}(A)\le 15<16, então não existe possibilidade de solução única — ou seja, nunca haverá solução única.
  • Porém a frase diz “sempre tem infinitas soluções”. Isto falha porque o sistema pode ser inconsistente (não ter nenhuma solução). Exemplo-contraponto simples: entre as 15 equações inclua x_1=0 e também x_1=1; essas duas juntas tornam o sistema inconsistente (sem solução). Logo nem sempre há infinitas soluções; pode não haver solução. Portanto (D) é falsa.

Passo 7

Analisando (E): m=23 equações e n=16 variáveis; afirma-se que nunca tem solução.
  • Como em (A), quando m\ge n é possível ter \text{rank}(A)=n=16 e escolher b compatível (ou fazer as equações adicionais dependentes), então o sistema pode ser consistente e até ter solução única.
  • Exemplo concreto que mostra possibilidade de solução: tomar as primeiras 16 equações independentes que fixem todas as variáveis (por exemplo \,x_i=0 para i=1,\dots,16,) e as 7 equações restantes serem repetições ou combinações lineares das primeiras. Isso resulta em solução (única, no exemplo). Logo não é verdade que com 23 equações “nunca” haja solução. Portanto (E) é falsa.

Passo 8

Resumo final do raciocínio rápido:
  • Única afirmativa verdadeira é (A): com 18 equações é possível ter solução única.
  • (B), (C), (D) e (E) são falsas pelos argumentos dados (muito ligado ao fato de que para solução única precisa m\ge n e \text{rank}=n, e que existência de mais equações não garante impossibilidade de solução).
Força aí — concentração e revisa esse tipo de argumento porque é tema clássico e muito cobrado: comparar m, n e o posto.

Resposta

A

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