Q3: Determine o polinômio p(x)=a x^{2}+b x+c que passa pelos pontos (0,-3),(1,1) e (2,9). Assinale o valor de a.
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4

Passo 1

O enunciado dá três pontos pelos quais o polinômio \,p(x)=a x^{2}+b x+c\, passa: (0,-3), (1,1) e (2,9).
A pergunta é: qual é o valor de a? Vou usar os três pontos para obter equações que relacionam a, b e c.

Passo 2

Quando um polinômio \,p(x)=a x^{2}+b x+c\, passa por um ponto (x_0,y_0), vale \,p(x_0)=y_0. Vou aplicar isso para cada ponto e obter um sistema linear em a, b e c.

Passo 3

Usando o ponto (0,-3): p(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0 + c = c = -3.
Logo temos imediatamente \,c=-3\,. Isto já simplifica bastante o sistema.

Passo 4

Usando o ponto (1,1): p(1)=a\cdot 1^{2}+b\cdot 1 + c = a + b + c = 1.

Passo 5

Usando o ponto (2,9): p(2)=a\cdot 2^{2}+b\cdot 2 + c = 4a + 2b + c = 9.

Passo 6

Substituo [,c=-3,) nas equações de p(1) e p(2).
Da equação de p(1): a + b + (-3) = 1 \quad\Rightarrow\quad a + b = 4.
Da equação de p(2): 4a + 2b + (-3) = 9 \quad\Rightarrow\quad 4a + 2b = 12.
Agora resolvo o sistema
\begin{cases} a + b = 4,\\[4pt] 4a + 2b = 12. \end{cases}
Multiplico a primeira equação por 2\] para facilitar eliminação: \[2a + 2b = 8.\] Subtraindo essa equação da segunda: \[(4a+2b)-(2a+2b) = 12-8 \quad\Rightarrow\quad 2a = 4.\] Portanto \(\,a = 2\,.]

Passo 7

Por completude, encontro b e verifico o polinômio: de a+b=4 com a=2 segue b=2. Já sabíamos c=-3. Assim o polinômio é \,p(x)=2x^{2}+2x-3\, (checa rápido: p(0)=-3, p(1)=1, p(2)=9).

Resposta

(D) 2

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