Resolva o sistema L U x=b abaixo resolvendo dois sistemas triangulares, sem multiplicar L por U :
\underbrace{\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{L} \underbrace{\left(\begin{array}{lll} 2 & 4 & 4 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{U} \underbrace{\left(\begin{array}{c} u \\\ v \\\ w \end{array}\right)}_{x}=\underbrace{\left(\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \\\\ 2 \end{array}\right)}_{b} .

Passo 1

O enunciado fornece a fatoração triangular
L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix}2 & 4 & 4 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
e o vetor
b = \begin{pmatrix}2 \\\\ 0 \\\\ 2\end{pmatrix},
e pede a solução de LUx = b. Vamos primeiro resolver Ly = b por substituição direta e depois Ux = y por substituição retroativa.

Passo 2

Para Ly = b\), definimos \(y = (y_1,y_2,y_3)^T\). O sistema é \[\begin{cases} y_1 = 2,\\\ y_1 + y_2 = 0,\\\ y_1 + y_3 = 2. \end{cases}
Da primeira equação obtemos (y_1 = 2]. Substituindo na segunda,
y_2 = 0 - y_1 = -2.
Na terceira,
y_3 = 2 - y_1 = 0.
Logo
y = \begin{pmatrix}2 \\\\ -2 \\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora resolvemos Ux = y\) com \(x = (u,v,w)^T\). O sistema é \[\begin{cases} 2u + 4v + 4w = 2,\\\ v + 2w = -2,\\\ w = 0. \end{cases}
Da última equação (w = 0]. Substituindo na segunda,
v = -2 - 2\cdot 0 = -2.
Na primeira,
u = \frac{2 - 4v - 4w}{2} = \frac{2 - 4(-2) - 4\cdot 0}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5.
Portanto
x = \begin{pmatrix}u \\\ v \\\ w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\\\ -2 \\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

(u,v,w) = (5, -2, 0)

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