Encontre E^{2}, E^{8}, E^{100} e E^{-1} se E=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 6 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
E = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 6 & 1\end{pmatrix}
e pede E^2, E^8, E^{100} e E^{-1}.
O conteúdo aqui é cálculo de potência de matriz triangular unipotente e inversão de matriz nesse caso. Vamos usar a decomposição E = I + N, reconhecer que N^2=0 e aplicar o “binomial” para matrizes, além de saber que (I+N)^{-1}=I-N quando N^2=0.

Passo 2

Defina
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad N = E - I = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 6 & 0\end{pmatrix}.
Verifique que
N^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 6 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Como N^2=0, para todo k\in\mathbb{N} vale a expansão
E^k = (I+N)^k = I + k\,N.

Passo 3

Pela fórmula E^k = I + kN temos
E^k = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + k\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 6k & 1\end{pmatrix}.
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E^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 12 & 1\end{pmatrix},\quad E^8 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 48 & 1\end{pmatrix},\quad E^{100} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 600 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para a inversa, use (I+N)^{-1} = I - N quando N^2=0. Assim
E^{-1} = (I+N)^{-1} = I - N = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -6 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

E^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 12 & 1\end{pmatrix},\quad E^8 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 48 & 1\end{pmatrix},\quad E^{100} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 600 & 1\end{pmatrix},\quad E^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -6 & 1\end{pmatrix}.

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