Fatore A em L U e escreva o sistema triangular superior U x=c que aparece após a eliminação, para
\underbrace{\left(\begin{array}{lll} 2 & 3 & 3 \\\\ 0 & 5 & 7 \\\\ 6 & 9 & 8 \end{array}\right)}_{A} \underbrace{\left(\begin{array}{c} u \\\ v \\\ w \end{array}\right)}_{x}=\underbrace{\left(\begin{array}{l} 2 \\\\ 2 \\\\ 5 \end{array}\right)}_{b}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição de Doolittle de A em L\,U (sem pivoteamento) e, em seguida, o sistema triangular superior
U\,x=c
obtido aplicando as mesmas operações de eliminação em b.

Passo 2

Eliminação da coluna 1: calculamos os multiplicadores
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{0}{2}=0, \quad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{6}{2}=3.
Aplicando em A:
\text{linha}_2'\;=\;\text{linha}_2 - m_{21}\,\text{linha}_1 \;=\;(0,\;5,\;7),
\text{linha}_3'\;=\;\text{linha}_3 - m_{31}\,\text{linha}_1 \;=\;(6-3\cdot2,\;9-3\cdot3,\;8-3\cdot3) \;=\;(0,\;0,\;-1).

Passo 3

Eliminação da coluna 2 no sub-sistema das linhas 2–3:
m_{32}=\frac{(\text{linha}_3')_2}{(\text{linha}_2')_2} =\frac{0}{5}=0.
Então
\text{linha}_3''=\text{linha}_3' - m_{32}\,\text{linha}_2' =(0,\;0,\;-1).

Passo 4

As matrizes L e U ficam:
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m_{21} & 1 & 0\\\ m_{31} & m_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3\\\\ 0 & 5 & 7\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Aplicando as mesmas operações em b:
b_2'=2 - m_{21}\cdot2 = 2 - 0 = 2, \quad b_3'=5 - m_{31}\cdot2 = 5 - 3\cdot2 = -1, \quad b_3''=b_3' - m_{32}\,b_2' = -1 - 0 = -1.
Logo
c = \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3\\\\ 0 & 5 & 7\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad U\,x = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3\\\\ 0 & 5 & 7\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.

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