Seja k um número real positivo e considere as superfícies de \mathbb{R}^{3} definidas pelas equações
E: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-6 y+1=0, \quad S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-10 x+25-k^{2}=0 .
a) Mostre que E e S são esferas.
d) Quais os valores de k para que estas esferas
b) Qual o valor de k para que as esferas sejam não se intersectem? tangentes exteriores?
e) Quais os valores de k para que a esfera E
c) Qual o valor de k para que as esferas sejam esteja no interior S ? tangentes interiores?
f) O que ocorre para k=6 ?

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido e claro):
  • Dados (as duas superfícies):
E:\; x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-6y+1=0,
S:\; x^{2}+y^{2}+z^{2}-10x+25-k^{2}=0,
com k número real positivo.
  • Perguntas (partes que vou responder):
    a) Mostrar que E e S são esferas (identificar centros e raios).
    b) Para quais valores de k as esferas não se intersectam? Quando são tangentes exteriores?
    c) Para quais valores de k a esfera E está no interior de S? Quando são tangentes interiores?
    d) Para quais valores de k as esferas se intersectam (no sentido usual: corte por um círculo)?
    e) (Já repetido em c) — vou tratar de interior/tangência interior lá).
    f) O que ocorre especificamente para k=6?
Observação: não vou resolver nada ainda neste passo, apenas listei o que o enunciado dá e o que preciso achar.

Passo 2

Identificar a forma padrão de uma esfera e completar quadrados (aula curta sobre completar quadrado).
  • Lembrete rápido: a equação padrão de uma esfera em \mathbb{R}^3 é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2},
onde (a,b,c) é o centro e R\ge0 é o raio. Para escrever uma equação na forma padrão, usamos completar quadrado nas variáveis x,y,z.
  • Agora aplicamos isso à equação de E. Escrevo os termos em x e y agrupados:
x^{2}-2x+y^{2}-6y+z^{2}+1=0.
Complete quadrado para x: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1. Para y: y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9. Substituo:
(x-1)^{2}-1+(y-3)^{2}-9+z^{2}+1=0.
Somando constantes: -1-9+1=-9. Portanto
(x-1)^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}-9=0,
ou seja
(x-1)^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}=9.
Isso já está na forma padrão: centro C_{E}=(1,3,0) e raio r_{E}=3.
(Explicação extra: completar quadrado é só reescrever x^{2}+bx como (x+b/2)^{2}-(b/2)^{2}. Aqui b=-2 x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1.)

Passo 3

Fazer o mesmo para S.
  • Escrevo a equação de S:
x^{2}-10x+y^{2}+z^{2}+25-k^{2}=0.
Complete quadrado em x: x^{2}-10x=(x-5)^{2}-25. Substituo:
(x-5)^{2}-25+y^{2}+z^{2}+25-k^{2}=0.
As constantes -25+25 cancelam, sobrando
(x-5)^{2}+y^{2}+z^{2}-k^{2}=0,
ou
(x-5)^{2}+y^{2}+z^{2}=k^{2}.
Assim S é uma esfera com centro C_{S}=(5,0,0) e raio r_{S}=k. Como no enunciado k>0, o raio é realmente k.

Passo 4

Calcular a distância entre os centros (fórmula e cálculo).
  • Fórmula: a distância entre dois pontos C_{E}=(a_{1},b_{1},c_{1}) e C_{S}=(a_{2},b_{2},c_{2}) é
d=\sqrt{(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}+(c_{2}-c_{1})^{2}}.
  • Aqui C_{E}=(1,3,0) e C_{S}=(5,0,0). Então
d=\sqrt{(5-1)^{2}+(0-3)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}+0}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Portanto a distância entre centros é d=5. Temos ainda r_{E}=3 e r_{S}=k.

Passo 5

Condições gerais de posição relativa entre duas esferas (explicando os casos e por que cada desigualdade corresponde a cada caso).
Dadas duas esferas com raios r_{1} e r_{2} e distância entre centros d:
  • Disjuntas externamente (não se intersectam, separadas): acontece quando
d>r_{1}+r_{2},
ou seja a distância entre centros é maior que a soma dos raios.
  • Tangência externa: quando
d=r_{1}+r_{2}.
  • Interseção em um círculo (duas superfícies se cortam): quando
|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}.
  • Tangência interna: quando
d=|r_{1}-r_{2}|.
  • Uma esfera contida estritamente dentro da outra sem tocar (uma dentro da outra, sem interseção das superfícies): quando
d<|r_{1}-r_{2}|.
Essas condições vêm de pensar geometricamente na linha que liga os centros e comparar posições dos pontos de encontro dos raios nessa linha: são as desigualdades que garantem existência/ausência de pontos comuns.

Passo 6

Aplicar as condições ao nosso caso específico r_{E}=3, r_{S}=k e d=5. Resolver cada desigualdade para k, passo a passo.
  1. Disjuntas externamente (não se intersectam, separadas):
d>r_{E}+r_{S} \quad\Rightarrow\quad 5>3+k.
Isolando k:
k<5-3\quad\Rightarrow\quad k<2.
Lembrando k>0 do enunciado, concluímos: para 0<k<2 as esferas não se intersectam (são separadas).
  1. Tangência externa:
d=r_{E}+r_{S}\quad\Rightarrow\quad 5=3+k,
logo
k=2.
  1. Interseção (corte em uma circunferência): condição
|3-k|<5<3+k.
Trabalho as duas partes:
  • 5<3+k k>2.
  • |3-k|<5 significa -5<3-k<5. Da primeira desigualdade dessa cadeia: -5<3-k k<8. Da segunda 3-k<5 k>-2. Combinando com k>0 do enunciado, obtemos 0<k<8 a partir de |3-k|<5, mas já temos k>2 da outra condição. Assim a interseção ocorre quando
2<k<8.
  1. Tangência interna:
d=|r_{E}-r_{S}|\quad\Rightarrow\quad 5=|3-k|.
Resolvendo: 3-k=5 ou 3-k=-5. Primeiro caso dá k=-2 (impossível pois k>0). Segundo caso dá k=8. Portanto a única solução admissível é
k=8.
  1. Contenção estrita de E dentro de S (sem tocar as superfícies):
d<|r_{S}-r_{E}|\quad\Rightarrow\quad 5<|k-3|.
Para k>3 isto é 5<k-3\Rightarrow k>8. Para k<3 seria 5<3-k\Rightarrow k<-2 (impossível com k>0). Logo a única possibilidade válida é
k>8,
o que significa que quando k>8 a esfera E está completamente dentro da esfera S sem tocar a superfície de S.
Observações finais deste passo: não existe o caso de S inteiramente contida em E porque isso exigiria k<0 (ou k<-2), o que contradiz k>0.

Passo 7

Responder a pergunta específica sobre k=6 (e calcular a geometria da interseção: círculo, centro e raio).
  • Como 6 satisfaz 2<k<8, pelas conclusões do passo anterior, para k=6 as esferas se intersectam num círculo (não são tangentes, nem contidas).
  • Podemos descrever esse círculo de interseção de forma mais precisa usando a construção padrão: a interseção de duas esferas é um círculo que está contido no plano perpendicular à reta que liga os centros. A distância a do centro C_{E} até o plano que contém o círculo de interseção é dada por
a=\frac{r_{E}^{2}-r_{S}^{2}+d^{2}}{2d}.
Isto vem de projetar geometricamente os triângulos que ligam os centros e um ponto da interseção.
  • Para r_{E}=3, r_{S}=6 e d=5:
a=\frac{3^{2}-6^{2}+5^{2}}{2\cdot 5}=\frac{9-36+25}{10}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}.
O sinal negativo indica que, medindo a partir de C_{E} na direção de C_{S}, o plano de interseção está um pouco “para trás” de C_{E}; em módulo a distância do centro C_{E} ao plano é |a|=\tfrac{1}{5}.
  • O raio r_{\text{circ}} do círculo de interseção satisfaz
r_{\text{circ}}=\sqrt{r_{E}^{2}-a^{2}}=\sqrt{9-\left(\tfrac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225-1}{25}}=\sqrt{\frac{224}{25}}=\frac{4\sqrt{14}}{5}.
  • Podemos também localizar o centro do círculo: é o ponto
P=C_{E}+ \frac{a}{d}(C_{S}-C_{E}).
Aqui C_{S}-C_{E}=(4,-3,0) e a/d=-\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{5}=-\tfrac{1}{25}? Cuidado: a/d = (-1/5)/5 = -1/25. Então
P = (1,3,0) + \left(-\tfrac{1}{25}\right)(4,-3,0) = \Big(1-\tfrac{4}{25},\,3+\tfrac{3}{25},\,0\Big)=\Big(\tfrac{21}{25},\,\tfrac{78}{25},\,0\Big).
Em decimal P\approx(0{,}84,\;3{,}12,\;0). Então para k=6 as esferas se cortam num círculo de centro P e raio \tfrac{4\sqrt{14}}{5}\approx2{,}993.

Passo 8

Recapitulando intuitivamente (um empurrão final para ajudar na prova):
  • Centre-se nos valores fáceis: centros em (1,3,0) e (5,0,0), distância 5, raios 3 e k. Depois use as cinco desigualdades padrão para comparar d com r_{E}\pm r_{S}. Isso resolve qualquer questão de posição relativa rápida na prova. Se pedirem um caso especial (como k=6), aplique a fórmula do deslocamento a e do raio do círculo para detalhes.

Resposta

(a) E é a esfera de centro C_{E}=(1,3,0) e raio r_{E}=3. S é a esfera de centro C_{S}=(5,0,0) e raio r_{S}=k.
(b) As esferas não se intersectam (são disjuntas externamente) para 0<k<2. São tangentes exteriores para k=2.
(c) A esfera E está no interior de S (contida estritamente, sem tocar) para k>8. São tangentes interiores para k=8.
(d) As esferas se intersectam (corte por um círculo) para 2<k<8.
(e) (Repetição/ênfase de (c)) E está no interior de S para k>8 (e não existe S contida em E com k>0).
(f) Para k=6: as esferas intersectam-se em um círculo. O plano da interseção está a uma distância a=-\tfrac{1}{5} (módulo \tfrac{1}{5}) de C_{E} ao longo de C_{E}C_{S}, o centro do círculo é P=\big(\tfrac{21}{25},\tfrac{78}{25},0\big) e o raio do círculo é \displaystyle r_{\text{circ}}=\frac{4\sqrt{14}}{5}.

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