Seja
um número real positivo e considere as superfícies de
definidas pelas equações
a) Mostre que
e
são esferas.
d) Quais os valores de
para que estas esferas
b) Qual o valor de
para que as esferas sejam não se intersectem? tangentes exteriores?
e) Quais os valores de
para que a esfera
c) Qual o valor de
para que as esferas sejam esteja no interior
? tangentes interiores?
f) O que ocorre para
?
d) Quais os valores de
b) Qual o valor de
e) Quais os valores de
c) Qual o valor de
f) O que ocorre para
Passo 1
Enunciado e o que se pede (resumido e claro):
- Dados (as duas superfícies):
com
número real positivo.
- Perguntas (partes que vou responder):
a) Mostrar quee são esferas (identificar centros e raios).
b) Para quais valores deas esferas não se intersectam? Quando são tangentes exteriores?
c) Para quais valores dea esfera está no interior de ? Quando são tangentes interiores?
d) Para quais valores deas esferas se intersectam (no sentido usual: corte por um círculo)?
e) (Já repetido em c) — vou tratar de interior/tangência interior lá).
f) O que ocorre especificamente para?
Observação: não vou resolver nada ainda neste passo, apenas listei o que o enunciado dá e o que preciso achar.
Passo 2
Identificar a forma padrão de uma esfera e completar quadrados (aula curta sobre completar quadrado).
- Lembrete rápido: a equação padrão de uma esfera em
é
onde
é o centro e
é o raio. Para escrever uma equação na forma padrão, usamos completar quadrado nas variáveis
.
- Agora aplicamos isso à equação de
. Escrevo os termos em e agrupados:
Complete quadrado para
:
. Para
:
. Substituo:
Somando constantes:
. Portanto
ou seja
Isso já está na forma padrão: centro
e raio
.
(Explicação extra: completar quadrado é só reescrever
como
. Aqui
dá
.)
Passo 3
Fazer o mesmo para
.
- Escrevo a equação de
:
Complete quadrado em
:
. Substituo:
As constantes
cancelam, sobrando
ou
Assim
é uma esfera com centro
e raio
. Como no enunciado
, o raio é realmente
.
Passo 4
Calcular a distância entre os centros (fórmula e cálculo).
- Fórmula: a distância entre dois pontos
e é
- Aqui
e . Então
Portanto a distância entre centros é
. Temos ainda
e
.
Passo 5
Condições gerais de posição relativa entre duas esferas (explicando os casos e por que cada desigualdade corresponde a cada caso).
Dadas duas esferas com raios
e
e distância entre centros
:
- Disjuntas externamente (não se intersectam, separadas): acontece quando
ou seja a distância entre centros é maior que a soma dos raios.
- Tangência externa: quando
- Interseção em um círculo (duas superfícies se cortam): quando
- Tangência interna: quando
- Uma esfera contida estritamente dentro da outra sem tocar (uma dentro da outra, sem interseção das superfícies): quando
Essas condições vêm de pensar geometricamente na linha que liga os centros e comparar posições dos pontos de encontro dos raios nessa linha: são as desigualdades que garantem existência/ausência de pontos comuns.
Passo 6
Aplicar as condições ao nosso caso específico
,
e
. Resolver cada desigualdade para
, passo a passo.
- Disjuntas externamente (não se intersectam, separadas):
Isolando
:
Lembrando
do enunciado, concluímos: para
as esferas não se intersectam (são separadas).
- Tangência externa:
logo
- Interseção (corte em uma circunferência): condição
Trabalho as duas partes:
-
dá . -
significa . Da primeira desigualdade dessa cadeia: dá . Da segunda dá . Combinando com do enunciado, obtemos a partir de , mas já temos da outra condição. Assim a interseção ocorre quando
- Tangência interna:
Resolvendo:
ou
. Primeiro caso dá
(impossível pois
). Segundo caso dá
. Portanto a única solução admissível é
- Contenção estrita de
dentro de (sem tocar as superfícies):
Para
isto é
. Para
seria
(impossível com
). Logo a única possibilidade válida é
o que significa que quando
a esfera
está completamente dentro da esfera
sem tocar a superfície de
.
Observações finais deste passo: não existe o caso de
inteiramente contida em
porque isso exigiria
(ou
), o que contradiz
.
Passo 7
Responder a pergunta específica sobre
(e calcular a geometria da interseção: círculo, centro e raio).
-
Como
satisfaz , pelas conclusões do passo anterior, para as esferas se intersectam num círculo (não são tangentes, nem contidas). -
Podemos descrever esse círculo de interseção de forma mais precisa usando a construção padrão: a interseção de duas esferas é um círculo que está contido no plano perpendicular à reta que liga os centros. A distância
do centro até o plano que contém o círculo de interseção é dada por
Isto vem de projetar geometricamente os triângulos que ligam os centros e um ponto da interseção.
- Para
, e :
O sinal negativo indica que, medindo a partir de
na direção de
, o plano de interseção está um pouco “para trás” de
; em módulo a distância do centro
ao plano é
.
- O raio
do círculo de interseção satisfaz
- Podemos também localizar o centro do círculo: é o ponto
Aqui
e
? Cuidado:
. Então
Em decimal
. Então para
as esferas se cortam num círculo de centro
e raio
.
Passo 8
Recapitulando intuitivamente (um empurrão final para ajudar na prova):
- Centre-se nos valores fáceis: centros em
e , distância , raios e . Depois use as cinco desigualdades padrão para comparar com . Isso resolve qualquer questão de posição relativa rápida na prova. Se pedirem um caso especial (como ), aplique a fórmula do deslocamento e do raio do círculo para detalhes.
Resposta
(a)
é a esfera de centro
e raio
.
é a esfera de centro
e raio
.
(b) As esferas não se intersectam (são disjuntas externamente) para
. São tangentes exteriores para
.
(c) A esfera
está no interior de
(contida estritamente, sem tocar) para
. São tangentes interiores para
.
(d) As esferas se intersectam (corte por um círculo) para
.
(e) (Repetição/ênfase de (c))
está no interior de
para
(e não existe
contida em
com
).
(f) Para
: as esferas intersectam-se em um círculo. O plano da interseção está a uma distância
(módulo
) de
ao longo de
, o centro do círculo é
e o raio do círculo é
.