Encontre a solução da equação diferencial pelo método da Transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial abaixo:
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem, linear, com coeficiente constante.
- A condição inicial é
. - A incógnita é a função
definida para .
Não resolvo nada neste passo, apenas identifiquei o que o problema pede e os dados fornecidos.
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace como ferramenta algébrica para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em
. Primeiro lembro a definição e algumas propriedades importantes (explico como se fosse a primeira vez, devagar e com carinho).
Definição da transformada de Laplace:
onde
é a variável do tempo (ou da função no domínio original) e
é a variável complexa (mas aqui tratamos
como uma variável real
suficiente para convergência). A transformada converte funções de
em funções de
.
Propriedades que vamos usar:
- Linearidade:
. - Transformada de derivada: se
e é dado, então
Vou explicar: isso vem de integrar por partes a definição da transformada da derivada; o termo
aparece naturalmente e é a grande vantagem dessa técnica — a condição inicial entra direto na álgebra.
3. Transformada de constantes: para constante ,
3. Transformada de constantes: para constante
Exemplo simples:
e
.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denoto
. Aplicando a transformada:
Usando as propriedades do passo anterior substituo cada termo:
Lembre que peguei
e
. Também uso a linearidade para agrupar os
.
Passo 4
Agora organizo a equação algébrica para resolver
. Substituo
:
Agrupo os termos com
:
Isolo
:
Passo 5
Faço manipulação algébrica para obter
como soma de frações simples que eu já sei inverter. Primeiro escrevo de forma mais conveniente:
Expliquei a separação:
.
Agora decompomos
em frações parciais. Procuro
tais que
Multiplicando por
obtemos:
Esse é um polinômio em
, válido para todo
. Uma forma rápida é avaliar em valores convenientes:
- Para
: - Para
:
Então
Passo 6
Volto para
e somo com o termo
:
Combine os termos em
:
Portanto
Passo 7
Agora aplico a transformada inversa termo a termo. Lembro as transformadas inversas básicas:
-
. -
.
Aplicando a linearidade da transformada inversa:
Logo
Passo 8
Fazemos uma checagem rápida (sempre bom para ganhar confiança):
- Condição inicial:
, que coincide com . - Comportamento para
: o termo exponencial some e , que é o equilíbrio (pois se constante, ). Tudo consistente.