Encontre a solução da equação diferencial pelo método da Transformada de Laplace:
y^{\prime}(t)+4 y(t)=10, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial abaixo:
y^{\prime}(t)+4\,y(t)=10,\qquad y(0)=2.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem, linear, com coeficiente constante.
  • A condição inicial é y(0)=2.
  • A incógnita é a função y(t) definida para t\ge 0.
    Não resolvo nada neste passo, apenas identifiquei o que o problema pede e os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace como ferramenta algébrica para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em s. Primeiro lembro a definição e algumas propriedades importantes (explico como se fosse a primeira vez, devagar e com carinho).
Definição da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde t é a variável do tempo (ou da função no domínio original) e s é a variável complexa (mas aqui tratamos s como uma variável real s>0 suficiente para convergência). A transformada converte funções de t em funções de s.
Propriedades que vamos usar:
  1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  2. Transformada de derivada: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0) é dado, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
Vou explicar: isso vem de integrar por partes a definição da transformada da derivada; o termo y(0) aparece naturalmente e é a grande vantagem dessa técnica — a condição inicial entra direto na álgebra.
3. Transformada de constantes: para constante C,
\mathcal{L}\{C\}=\frac{C}{s}.
Exemplo simples: \mathcal{L}\{1\}=1/s e \mathcal{L}\{e^{-at}\}=1/(s+a).

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denoto Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aplicando a transformada:
\mathcal{L}\{y'(t)\} + 4\,\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{10\}.
Usando as propriedades do passo anterior substituo cada termo:
\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) + 4Y(s) = \frac{10}{s}.
Lembre que peguei \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{10\}=10/s. Também uso a linearidade para agrupar os Y(s).

Passo 4

Agora organizo a equação algébrica para resolver Y(s). Substituo y(0)=2:
sY(s)-2 + 4Y(s) = \frac{10}{s}.
Agrupo os termos com Y(s):
(s+4)Y(s) - 2 = \frac{10}{s}.
Isolo Y(s):
(s+4)Y(s) = \frac{10}{s} + 2
Y(s) = \frac{\dfrac{10}{s} + 2}{s+4}.

Passo 5

Faço manipulação algébrica para obter Y(s) como soma de frações simples que eu já sei inverter. Primeiro escrevo de forma mais conveniente:
Y(s)=\frac{10}{s(s+4)} + \frac{2}{s+4}.
Expliquei a separação: \dfrac{10/s + 2}{s+4} = \dfrac{10}{s(s+4)} + \dfrac{2}{s+4}.
Agora decompomos \dfrac{10}{s(s+4)} em frações parciais. Procuro A,B tais que
\frac{10}{s(s+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando por s(s+4) obtemos:
10 = A(s+4) + B s.
Esse é um polinômio em s, válido para todo s. Uma forma rápida é avaliar em valores convenientes:
  • Para s=0: 10 = A(0+4)\Rightarrow A=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}.
  • Para s=-4: 10 = B(-4)\Rightarrow B=-\dfrac{10}{4}=-\dfrac{5}{2}.
Então
\frac{10}{s(s+4)}=\frac{5/2}{s}-\frac{5/2}{s+4}.

Passo 6

Volto para Y(s) e somo com o termo \dfrac{2}{s+4}:
Y(s)=\frac{5/2}{s}-\frac{5/2}{s+4} + \frac{2}{s+4}.
Combine os termos em 1/(s+4):
-\frac{5}{2} + 2 = -\frac{5}{2} + \frac{4}{2} = -\frac{1}{2}.
Portanto
Y(s)=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{s} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+4}.

Passo 7

Agora aplico a transformada inversa termo a termo. Lembro as transformadas inversas básicas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+4}\right\}=e^{-4t}.
Aplicando a linearidade da transformada inversa:
y(t)=\frac{5}{2}\cdot 1 - \frac{1}{2}\cdot e^{-4t}.
Logo
y(t)=\frac{5}{2} - \frac{1}{2} e^{-4t}.

Passo 8

Fazemos uma checagem rápida (sempre bom para ganhar confiança):
  • Condição inicial: y(0)=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=2, que coincide com y(0)=2.
  • Comportamento para t\to\infty: o termo exponencial some e y(t)\to 5/2, que é o equilíbrio (pois se y constante, 4y=10\Rightarrow y=10/4=5/2). Tudo consistente.

Resposta

y(t)=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}e^{-4t}

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