Resolva o sistema A \cdot x=b, utilizando o método de Gauss-Jacobi, com x^{(0)}=0_{n \times 1} e \varepsilon=0,05.
A \cdot x=b \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pede-se resolver o sistema A\cdot x = b\) usando o método de Gauss–Jacobi, com chute inicial \(x^{(0)}=0_{3\times1}\) e tolerância \(\varepsilon=0{,}05\).\n - O sistema é \[\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+x_{3}=5\\[4pt] 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=6\\[4pt] 3x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=0 \end{cases}
  • Informações fornecidas que vamos usar: a matriz de coeficientes A\] e o vetor \(b estão implícitos nas equações acima; o método pedido é Gauss–Jacobi; o chute inicial é x^{(0)}=(0,0,0); a tolerância para parada é \varepsilon=0{,}05.\n]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Jacobi e a fórmula que usaremos:\n
  • Gauss–Jacobi é um método iterativo para resolver sistemas lineares. A ideia é isolar cada incógnita na sua equação principal e, em cada iteração, usar somente os valores das iterações anteriores para calcular as novas componentes.\n
  • A fórmula geral é, para cada i:
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Aqui a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na linha i, b_i é o termo independente da linha i, x_j^{(k)} é o valor aproximado da componente j na iteração k, e x_i^{(k+1)} é o novo valor que queremos calcular.\n
  • Para o nosso sistema as fórmulas ficam explicitamente:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(5 - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(6 - 3x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{6}\bigl(-3x_{1}^{(k)} - 3x_{2}^{(k)}\bigr).
  • Critério de parada: vamos usar a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas, isto é, calcular \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|. Paramos quando essa norma for menor que \varepsilon=0{,}05.\n
  • Observação rápida (útil na prova): se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas, a convergência é garantida. Aqui a primeira linha é estritamente dominante ( 5>1+1), as outras duas são apenas não estritas ( 4=3+1, 6=3+3), portanto a condição suficiente não se verifica para todas as linhas, mas isso não impede a aplicação do método; só é um sinal para checar a convergência numérica.\n

Passo 3

Iteração k=0 \to k=1 (chute inicial \;x^{(0)}=(0,0,0)):\n
  • Usando as fórmulas:
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{5}(5-0-0)=1,
x_{2}^{(1)}=\frac{1}{4}(6-0-0)=\tfrac{6}{4}=1{,}5,
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{6}(-0-0)=0.
  • Logo x^{(1)}=(1,\;1{,}5,\;0).\n
  • Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max(1,1{,}5,0)=1{,}5>0{,}05. Ainda não paramos.\n

Passo 4

Iteração k=1 \to k=2:\n
  • Calculamos usando x^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{5}(5-1{,}5-0)=\frac{3{,}5}{5}=0{,}7,
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{4}(6-3\cdot1-0)=\frac{3}{4}=0{,}75,
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{6}(-3\cdot1-3\cdot1{,}5)=\frac{-7{,}5}{6}=-1{,}25.
  • x^{(2)}=(0{,}7,\;0{,}75,\;-1{,}25).\n
  • Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max(0{,}3,0{,}75,1{,}25)=1{,}25>0{,}05.\n

Passo 5

Iteração k=2 \to k=3:\n
  • Usando x^{(2)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{1}{5}\bigl(5-0{,}75-(-1{,}25)\bigr)=\frac{5{,}5}{5}=1{,}1,
x_{2}^{(3)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot0{,}7-(-1{,}25)\bigr)=\frac{5{,}15}{4}=1{,}2875,
x_{3}^{(3)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot0{,}7-3\cdot0{,}75\bigr)=\frac{-4{,}35}{6}=-0{,}725.
  • x^{(3)}=(1{,}1,\;1{,}2875,\;-0{,}725).\n
  • Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max(0{,}4,0{,}5375,0{,}525)=0{,}5375>0{,}05.\n

Passo 6

Iteração k=3 \to k=4:\n
  • Usando x^{(3)}:
x_{1}^{(4)}=\frac{1}{5}\bigl(5-1{,}2875-(-0{,}725)\bigr)=\frac{4{,}4375}{5}=0{,}8875,
x_{2}^{(4)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot1{,}1-(-0{,}725)\bigr)=\frac{3{,}425}{4}=0{,}85625,
x_{3}^{(4)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot1{,}1-3\cdot1{,}2875\bigr)=\frac{-7{,}1625}{6}=-1{,}19375.
  • x^{(4)}=(0{,}8875,\;0{,}85625,\;-1{,}19375).\n
  • Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=\max(0{,}2125,0{,}43125,0{,}46875)=0{,}46875>0{,}05.\n

Passo 7

Iteração k=4 \to k=5:\n
  • Com x^{(4)}:
x_{1}^{(5)}=\frac{1}{5}\bigl(5-0{,}85625-(-1{,}19375)\bigr)=\frac{5{,}3375}{5}=1{,}0675,
x_{2}^{(5)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot0{,}8875-(-1{,}19375)\bigr)=\frac{4{,}53125}{4}=1{,}1328125,
x_{3}^{(5)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot0{,}8875-3\cdot0{,}85625\bigr)=\frac{-5{,}23125}{6}=-0{,}871875.
  • x^{(5)}=(1{,}0675,\;1{,}1328125,\;-0{,}871875).\n
  • Diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}=0{,}321875>0{,}05.\n

Passo 8

Iteração k=5 \to k=6:\n
  • Com x^{(5)}:
x_{1}^{(6)}=\frac{1}{5}\bigl(5-1{,}1328125-(-0{,}871875)\bigr)=\frac{4{,}7390625}{5}=0{,}9478125,
x_{2}^{(6)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot1{,}0675-(-0{,}871875)\bigr)=\frac{3{,}669375}{4}=0{,}91734375,
x_{3}^{(6)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot1{,}0675-3\cdot1{,}1328125\bigr)=\frac{-6{,}6009375}{6}=-1{,}10015625.
  • x^{(6)}=(0{,}9478125,\;0{,}91734375,\;-1{,}10015625).\n
  • Diferença \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}=0{,}22828125>0{,}05.\n

Passo 9

Iteração k=6 \to k=7:\n
  • Com x^{(6)}:
x_{1}^{(7)}=\frac{1}{5}\bigl(5-0{,}91734375-(-1{,}10015625)\bigr)=\frac{5{,}1828125}{5}=1{,}0365625,
x_{2}^{(7)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot0{,}9478125-(-1{,}10015625)\bigr)=\frac{4{,}25671875}{4}=1{,}0641796875,
x_{3}^{(7)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot0{,}9478125-3\cdot0{,}91734375\bigr)=\frac{-5{,}59546875}{6}=-0{,}932578125.
  • x^{(7)}=(1{,}0365625,\;1{,}0641796875,\;-0{,}932578125).\n
  • Diferença \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_{\infty}=0{,}167578125>0{,}05.\n

Passo 10

Iteração k=7 \to k=8:\n
  • Com x^{(7)}:
x_{1}^{(8)}=\frac{1}{5}\bigl(5-1{,}0641796875-(-0{,}932578125)\bigr)=\frac{4{,}8683984375}{5}=0{,}9736796875,
x_{2}^{(8)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot1{,}0365625-(-0{,}932578125)\bigr)=\frac{3{,}822890625}{4}=0{,}95572265625,
x_{3}^{(8)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot1{,}0365625-3\cdot1{,}0641796875\bigr)=\frac{-6{,}3022265625}{6}=-1{,}05037109375.
  • x^{(8)}=(0{,}9736796875,\;0{,}95572265625,\;-1{,}05037109375).\n
  • Diferença \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}=0{,}11779296875>0{,}05.\n

Passo 11

Iteração k=8 \to k=9:\n
  • Com x^{(8)}:
x_{1}^{(9)}=\frac{1}{5}\bigl(5-0{,}95572265625-(-1{,}05037109375)\bigr)=\frac{5{,}0946484375}{5}=1{,}0189296875,
x_{2}^{(9)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot0{,}9736796875-(-1{,}05037109375)\bigr)=\frac{4{,}12933203125}{4}=1{,}0323330078125,
x_{3}^{(9)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot0{,}9736796875-3\cdot0{,}95572265625\bigr)=\frac{-5{,}78820703125}{6}=-0{,}964701171875.
  • x^{(9)}=(1{,}0189296875,\;1{,}0323330078125,\;-0{,}964701171875).\n
  • Diferença \|x^{(9)}-x^{(8)}\|_{\infty}=0{,}085669921875>0{,}05.\n

Passo 12

Iteração k=9 \to k=10:\n
  • Com x^{(9)}:
x_{1}^{(10)}=\frac{1}{5}\bigl(5-1{,}0323330078125-(-0{,}964701171875)\bigr)=\frac{4{,}9323681640625}{5}=0{,}9864736328125,
x_{2}^{(10)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot1{,}0189296875-(-0{,}964701171875)\bigr)=\frac{3{,}907912109375}{4}=0{,}97697802734375,
x_{3}^{(10)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot1{,}0189296875-3\cdot1{,}0323330078125\bigr)=\frac{-6{,}1537880859375}{6}=-1{,}02563134765625.
  • x^{(10)}=(0{,}9864736328125,\;0{,}97697802734375,\;-1{,}02563134765625).\n
  • Diferença \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}=0{,}06093017578125>0{,}05.\n

Passo 13

Iteração k=10 \to k=11:\n
  • Com x^{(10)}:
x_{1}^{(11)}=\frac{1}{5}\bigl(5-0{,}97697802734375-(-1{,}02563134765625)\bigr)=\frac{5{,}0486533203125}{5}=1{,}0097306640625,
x_{2}^{(11)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot0{,}9864736328125-(-1{,}02563134765625)\bigr)=\frac{4{,}06621044921875}{4}=1{,}0165526123046875,
x_{3}^{(11)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot0{,}9864736328125-3\cdot0{,}97697802734375\bigr)=\frac{-5{,}89035498046875}{6}=-0{,}981725830078125.
  • x^{(11)}=(1{,}0097306640625,\;1{,}0165526123046875,\;-0{,}981725830078125).\n
  • Diferença \|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}=\max(0{,}02325703125,0{,}0395745849609375,0{,}043905517578125)=0{,}043905517578125.\n - Como \(0{,}043905517578125<\varepsilon=0{,}05, o critério de parada é satisfeito e paramos na iteração 11.\n)

Resposta

x\approx\bigl(1{,}009731,\;1{,}016553,\;-0{,}981726\bigr)

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