Pede-se resolver o sistema A\cdot x = b\) usando o método de Gauss–Jacobi, com chute inicial \(x^{(0)}=0_{3\times1}\) e tolerância \(\varepsilon=0{,}05\).\n
- O sistema é
\[\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+x_{3}=5\\[4pt] 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=6\\[4pt] 3x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=0 \end{cases}
Informações fornecidas que vamos usar: a matriz de coeficientes A\] e o vetor \(b estão implícitos nas equações acima; o método pedido é Gauss–Jacobi; o chute inicial é x^{(0)}=(0,0,0); a tolerância para parada é \varepsilon=0{,}05.\n]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Jacobi e a fórmula que usaremos:\n
Gauss–Jacobi é um método iterativo para resolver sistemas lineares. A ideia é isolar cada incógnita na sua equação principal e, em cada iteração, usar somente os valores das iterações anteriores para calcular as novas componentes.\n
Aqui a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na linha i, b_i é o termo independente da linha i, x_j^{(k)} é o valor aproximado da componente j na iteração k, e x_i^{(k+1)} é o novo valor que queremos calcular.\n
Para o nosso sistema as fórmulas ficam explicitamente:
Critério de parada: vamos usar a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas, isto é, calcular \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|. Paramos quando essa norma for menor que \varepsilon=0{,}05.\n
Observação rápida (útil na prova): se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas, a convergência é garantida. Aqui a primeira linha é estritamente dominante (5>1+1), as outras duas são apenas não estritas (4=3+1, 6=3+3), portanto a condição suficiente não se verifica para todas as linhas, mas isso não impede a aplicação do método; só é um sinal para checar a convergência numérica.\n
Diferença \|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}=\max(0{,}02325703125,0{,}0395745849609375,0{,}043905517578125)=0{,}043905517578125.\n
- Como \(0{,}043905517578125<\varepsilon=0{,}05, o critério de parada é satisfeito e paramos na iteração 11.\n)