usando o método de Gauss–Seidel com o chute inicial \;x^{(0)}=0_{3\times1}\; (ou seja \;x_{1}^{(0)}=0,\;x_{2}^{(0)}=0,\;x_{3}^{(0)}=0\;) e critério de parada \varepsilon=10^{-2}=0,01.
Informações relevantes dadas:
Vou escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel isolando cada variável em sua equação (isso é obrigatório para aplicar o método):
Da primeira equação isolamos \;x_{1}\;:
x_{1}=\frac{1}{10}\bigl(7-2x_{2}-x_{3}\bigr).
Da segunda isolamos \;x_{2}\;:
x_{2}=\frac{1}{5}\bigl(-8-x_{1}-x_{3}\bigr).
Da terceira isolamos \;x_{3}\;:
x_{3}=\frac{1}{10}\bigl(6-2x_{1}-3x_{2}\bigr).
Explicando didaticamente: no Gauss–Seidel, em cada iteração \;k+1\; eu calculo \;x_{1}^{(k+1)}\; usando os valores mais recentes disponíveis (aqui x_{2}^{(k)} e x_{3}^{(k)} se ainda não atualizados), depois uso x_{1}^{(k+1)} para calcular x_{2}^{(k+1)} e assim por diante. Ou seja, atualizo componentes sequencialmente e já uso os valores novos quando disponíveis.
Passo 3
Breve nota sobre convergência (útil para a prova): uma condição suficiente para convergência do Gauss–Seidel é que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (cada elemento diagonal em módulo maior que a soma dos módulos dos outros elementos da linha). Verifico isso nas linhas:
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante e o método converge.
Passo 4
Critério de parada que usarei: comparar duas iterações consecutivas e parar quando a norma infinita da diferença for menor que \varepsilon. Formalmente, paro quando
\max\approx 0,0033456008<0,01. Portanto o critério de parada foi satisfeito e posso aceitar x^{(4)} como solução aproximada.]
Passo 9
Resultado atingido em 4 iterações com o critério pedido.
Dica para a prova: escreva as fórmulas iterativas isolando cada variável, atualize na ordem x_{1},x_{2},x_{3} usando sempre os valores mais recentes, e calcule a diferença máxima entre iterações para checar \varepsilon. Para sistemas maiores faça o mesmo processo, com atenção aos sinais e aos arredondamentos (arredonde só na escrita, mantenha maior precisão nos cálculos intermediários se possível).