Resolva o sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Seidel, com x^{(0)}=0_{n \times 1} \mathrm{e} \varepsilon=10^{-2}=0,01.
A \cdot x=b \Rightarrow\left\{\begin{array}{cl}10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} &=7 \\\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3} &=-8 \\\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3} &=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+x_{3}=-8,\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=6, \end{cases}
usando o método de Gauss–Seidel com o chute inicial \;x^{(0)}=0_{3\times1}\; (ou seja \;x_{1}^{(0)}=0,\;x_{2}^{(0)}=0,\;x_{3}^{(0)}=0\;) e critério de parada \varepsilon=10^{-2}=0,01.
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix}10&2&1\\[2pt]1&5&1\\[2pt]2&3&10\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}7\\[2pt]-8\\[2pt]6\end{pmatrix},\qquad x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad \varepsilon=0,01.]

Passo 2

Vou escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel isolando cada variável em sua equação (isso é obrigatório para aplicar o método):
Da primeira equação isolamos \;x_{1}\;:
x_{1}=\frac{1}{10}\bigl(7-2x_{2}-x_{3}\bigr).
Da segunda isolamos \;x_{2}\;:
x_{2}=\frac{1}{5}\bigl(-8-x_{1}-x_{3}\bigr).
Da terceira isolamos \;x_{3}\;:
x_{3}=\frac{1}{10}\bigl(6-2x_{1}-3x_{2}\bigr).
Explicando didaticamente: no Gauss–Seidel, em cada iteração \;k+1\; eu calculo \;x_{1}^{(k+1)}\; usando os valores mais recentes disponíveis (aqui x_{2}^{(k)} e x_{3}^{(k)} se ainda não atualizados), depois uso x_{1}^{(k+1)} para calcular x_{2}^{(k+1)} e assim por diante. Ou seja, atualizo componentes sequencialmente e já uso os valores novos quando disponíveis.

Passo 3

Breve nota sobre convergência (útil para a prova): uma condição suficiente para convergência do Gauss–Seidel é que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (cada elemento diagonal em módulo maior que a soma dos módulos dos outros elementos da linha). Verifico isso nas linhas:
|10|>|2|+|1|=3,\qquad |5|>|1|+|1|=2,\qquad |10|>|2|+|3|=5.
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante e o método converge.

Passo 4

Critério de parada que usarei: comparar duas iterações consecutivas e parar quando a norma infinita da diferença for menor que \varepsilon. Formalmente, paro quando
\max_{i}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|<\varepsilon.
Começo com \;x^{(0)}=(0,0,0)^{T}.

Passo 5

Aplicando as fórmulas usando \;x^{(0)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2\cdot 0-0\bigr)=\frac{7}{10}=0,7.
Agora uso x_{1}^{(1)} para calcular x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-0,7-0\bigr)=\frac{-8,7}{5}=-1,74.
Agora uso x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)} para calcular x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\cdot 0,7-3\cdot(-1,74)\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(6-1,4+5,22\bigr)=\frac{9,82}{10}=0,982.
Logo
x^{(1)}=\begin{pmatrix}0,7\\[2pt]-1,74\\[2pt]0,982\end{pmatrix}.
Diferença com x^{(0)}: \max(|0,7|,|{-1,74}|,|0,982|)=1,74>0,01. Não paro.]

Passo 6

Usando os valores de x^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2(-1,74)-0,982\bigr) =\frac{7+3,48-0,982}{10}=\frac{9,498}{10}=0,9498.
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-0,9498-0,982\bigr) =\frac{-9,9318}{5}=-1,98636.
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,9498-3(-1,98636)\bigr) =\frac{6-1,8996+5,95908}{10}=\frac{10,05948}{10}=1,005948.
Logo
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0,9498\\[2pt]-1,98636\\[2pt]1,005948\end{pmatrix}.
Diferença com x^{(1)}:
|x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)}|=0,2498,\quad |x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)}|=0,24636,\quad |x_{3}^{(2)}-x_{3}^{(1)}|=0,023948,
\max=\;0,2498>0,01. Não paro.]

Passo 7

Usando x^{(2)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2(-1,98636)-1,005948\bigr) =\frac{7+3,97272-1,005948}{10}=\frac{9,966772}{10}=0,9966772.
x_{2}^{(3)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-0,9966772-1,005948\bigr) =\frac{-10,0026252}{5}=-2,00052504.
x_{3}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,9966772-3(-2,00052504)\bigr) =\frac{6-1,9933544+6,00157512}{10}=\frac{10,00822072}{10}=1,000822072.
Logo
x^{(3)}=\begin{pmatrix}0,9966772\\[2pt]-2,00052504\\[2pt]1,000822072\end{pmatrix}.
Diferença com x^{(2)}:
|x_{1}^{(3)}-x_{1}^{(2)}|=0,0468772,\quad |x_{2}^{(3)}-x_{2}^{(2)}|=0,01416504,\quad |x_{3}^{(3)}-x_{3}^{(2)}|=0,000873928.
\max\approx 0,0468772>0,01. Ainda não paro.]

Passo 8

Usando x^{(3)}:
x_{1}^{(4)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2(-2,00052504)-1,000822072\bigr) =\frac{7+4,00105008-1,000822072}{10}=\frac{10,000228008}{10}=1,0000228008.
x_{2}^{(4)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-1,0000228008-1,000822072\bigr) =\frac{-10,0008448728}{5}=-2,00016897456.
x_{3}^{(4)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\cdot1,0000228008-3(-2,00016897456)\bigr) =\frac{6-2,0000456016+6,00050692368}{10}=\frac{10,00046132208}{10}=1,000046132208.
Logo
x^{(4)}=\begin{pmatrix}1,0000228008\\[2pt]-2,00016897456\\[2pt]1,000046132208\end{pmatrix}.
Diferença com x^{(3)}:
|x_{1}^{(4)}-x_{1}^{(3)}|=0,0033456008,\quad |x_{2}^{(4)}-x_{2}^{(3)}|=0,00035606544,\quad |x_{3}^{(4)}-x_{3}^{(3)}|=0,000775939792.
\max\approx 0,0033456008<0,01. Portanto o critério de parada foi satisfeito e posso aceitar x^{(4)} como solução aproximada.]

Passo 9

  • Resultado atingido em 4 iterações com o critério pedido.
  • Dica para a prova: escreva as fórmulas iterativas isolando cada variável, atualize na ordem x_{1},x_{2},x_{3} usando sempre os valores mais recentes, e calcule a diferença máxima entre iterações para checar \varepsilon. Para sistemas maiores faça o mesmo processo, com atenção aos sinais e aos arredondamentos (arredonde só na escrita, mantenha maior precisão nos cálculos intermediários se possível).

Resposta

x_{1}\approx 1,000023
x_{2}\approx -2,000169
x_{3}\approx 1,000046

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