Informações relevantes que temos: os elementos de A conforme a tabela acima; a tarefa é encontrar uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U tais que A = LU. Nada mais foi pedido explicitamente no enunciado.]
Passo 2
Escolhendo um método prático: vamos usar a decomposição de Doolittle, onde a matriz L tem uns na diagonal principal e U é triangular superior. Por que esse método? Porque é diretamente ligada à eliminação de Gauss: os multiplicadores usados para zerar entradas abaixo dos pivôs formam as entradas de L. Isso normalmente é rápido de executar à mão numa prova.
Explicando o procedimento e as fórmulas (aula rápida e direta): em cada etapa de eliminação, ao usar o pivô a_{kk} para zerar a entrada a_{ik} (com i>k), o multiplicador é
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}.
Esse m_{ik} é colocado em L na posição (i,k). Depois subtrai-se m_{ik} vezes a linha k da linha i para eliminar a entrada. Assim, U será a matriz que sobra após a eliminação (triangular superior) e L armazena os multiplicadores com 1s na diagonal.
Aqui: a_{ik} é o elemento da matriz corrente na linha i e coluna k; a_{kk} é o pivô (elemento da diagonal na etapa). Vou aplicar isso passo a passo com números, sem pular contas.
Passo 3
Começamos com A como matriz inicial; identificamos o pivô na primeira etapa como a_{11}=1. Escrevo a matriz inicial para referência: