Decompor a matriz A, usando a Decomposição L U.
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 3 & -2 \\\\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: decompor a matriz A usando a decomposição LU.
Matriz dada:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 2 & 3 & -2 \\[4pt] 1 & -2 & 1\end{pmatrix}
Informações relevantes que temos: os elementos de A conforme a tabela acima; a tarefa é encontrar uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U tais que A = LU. Nada mais foi pedido explicitamente no enunciado.]

Passo 2

Escolhendo um método prático: vamos usar a decomposição de Doolittle, onde a matriz L tem uns na diagonal principal e U é triangular superior. Por que esse método? Porque é diretamente ligada à eliminação de Gauss: os multiplicadores usados para zerar entradas abaixo dos pivôs formam as entradas de L. Isso normalmente é rápido de executar à mão numa prova.
Explicando o procedimento e as fórmulas (aula rápida e direta): em cada etapa de eliminação, ao usar o pivô a_{kk} para zerar a entrada a_{ik} (com i>k), o multiplicador é
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}.
Esse m_{ik} é colocado em L na posição (i,k). Depois subtrai-se m_{ik} vezes a linha k da linha i para eliminar a entrada. Assim, U será a matriz que sobra após a eliminação (triangular superior) e L armazena os multiplicadores com 1s na diagonal.
Aqui: a_{ik} é o elemento da matriz corrente na linha i e coluna k; a_{kk} é o pivô (elemento da diagonal na etapa). Vou aplicar isso passo a passo com números, sem pular contas.

Passo 3

Começamos com A como matriz inicial; identificamos o pivô na primeira etapa como a_{11}=1. Escrevo a matriz inicial para referência:
\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 2 & 3 & -2 \\[4pt] 1 & -2 & 1\end{pmatrix}]

Passo 4

Primeira coluna: eliminar entradas abaixo de a_{11}.
Calcule os multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{1}{1}=1.
Isso significa que em L teremos L_{21}=2 e L_{31}=1.
Agora aplicamos as operações nas linhas:
  • Nova linha 2 = linha 2 - m_{21}\times linha 1:
\text{linha 2: }(2,\,3,\,-2) - 2\cdot(1,\,2,\,-1) = (2-2,\;3-4,\;-2+2) = (0,\,-1,\,0).
  • Nova linha 3 = linha 3 - m_{31}\times linha 1:
\text{linha 3: }(1,\,-2,\,1) - 1\cdot(1,\,2,\,-1) = (0,\,-4,\,2).
A matriz após a primeira rodada de eliminação (ainda não é U final) fica:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}]

Passo 5

Segunda etapa: usar o pivô da segunda linha que agora é a_{22}=-1 para eliminar abaixo dele.
Calcule o multiplicador:
m_{32}=\frac{\text{entrada }(3,2)}{a_{22}}=\frac{-4}{-1}=4.
Isso dá L_{32}=4.
Eliminamos:
  • Nova linha 3 = linha 3 - m_{32}\times linha 2:
\text{linha 3: }(0,\,-4,\,2) - 4\cdot(0,\,-1,\,0) = (0,\,-4+4,\,2-0) = (0,\,0,\,2).
Agora a matriz superior (triangular) obtida é
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
E já temos os multiplicadores que compõem L: em L colocamos 1s na diagonal e os m's abaixo da diagonal.]

Passo 6

Montamos a matriz L com os multiplicadores calculados: m_{21}=2, m_{31}=1, m_{32}=4, e uns na diagonal:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Recapitulando:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 4 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (mostrando que LU=A) — multiplicamos L por U linha a linha:
  • Primeira linha de L vezes U: 1\cdotprimeira linha de U = (1,2,-1).
  • Segunda linha de L vezes U: 2\cdotprimeira linha de U + 1\cdotsegunda linha de U = 2(1,2,-1)+(0,-1,0)=(2,4,-2)+(0,-1,0)=(2,3,-2).
  • Terceira linha de L vezes U: 1\cdotprimeira linha de U + 4\cdotsegunda linha de U + 1\cdotterceira linha de U = (1,2,-1)+4(0,-1,0)+(0,0,2)=(1,-2,1).
Esses resultados coincidem com as linhas de A, logo A=LU está correto.

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}]

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