Resolva o sistema dado sujeito à condição inicial indicada.
X^prime=[cc1 / 2 & 0 1 & -1 / 2] X, X(0)=[l3 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais! O enunciado nos dá uma equação na forma X' = A X onde A é uma matriz 2x2 e uma condição inicial X(0) = 3 5 . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de autovalores e autovetores das matrizes. Basicamente, vamos encontrar os valores próprios da matriz A e construir a solução geral a partir deles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular a determinante:
A - lambda I = 12 - lambda & 0 1 & -12 - lambda
det(A - lambda I) = (12 - lambda) (-12 - lambda) - (0)(1) = (12 - lambda)(-12 - lambda)

Passo 4

Multiplicando os termos:
(12 - lambda)(-12 - lambda) = (-12 cdot 12) + (-12 cdot (-lambda)) + (-lambda cdot 12) + (-lambda cdot (-lambda))
= -14 + lambda2 - lambda2 + lambda^2 = lambda^2 - 14

Passo 5

Igualando a determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 14 = 0 implies lambda^2 = 14 implies lambda = pm 12
Então, os autovalores são lambda1 = 12 e lambda2 = -12 .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 12 :
(A - lambda1 I) v = 0 implies 0 & 0 1 & -1 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação v1 = v2 . Podemos escolher v1 = 1 1 .
Para lambda2 = -12 :
(A - lambda2 I) v = 0 implies 1 & 0 1 & 0 v1 v2 = 0 0
Aqui, temos v1 = 0 . Então, podemos escolher v2 = 0 1 .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores encontrados:
X(t) = c1 e^12 t 1 1 + c2 e^-12 t 0 1

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial X(0) = 3 5 :
X(0) = c1 1 1 + c2 0 1 = 3 5
Isso nos dá o sistema de equações:
c1 = 3
c1 + c2 = 5 implies 3 + c2 = 5 implies c2 = 2

Resposta

Substituindo c1 = 3 e c2 = 2 na solução geral, temos:
X(t) = 3 e^12 t 1 1 + 2 e^-12 t 0 1
Ou, de forma expandida:
X(t) = 3 e^12 t 3 e^12 t + 2 e^-12 t

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