Resolva o sistema dado sujeito à condição inicial indicada.
X^prime=[cc2 & 4 -1 & 6] X, X(0)=[c-1 6]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais lineares com uma condição inicial específica. Estamos trabalhando com sistemas lineares de equações diferenciais, e para resolver isso, vamos precisar usar autovalores e autovetores. Basicamente, isso vai nos ajudar a encontrar soluções que descrevem como o sistema se comporta ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. No caso, a matriz é:
A = 2 & 4 -1 & 6
E a condição inicial dada é:
X(0) = -1 6

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores são valores que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular a determinante:
det( 2 - lambda & 4 -1 & 6 - lambda ) = (2 - lambda)(6 - lambda) - (-1)(4)
Simplificando:
(2 - lambda)(6 - lambda) + 4 = (12 - 8lambda + lambda^2) + 4 = lambda^2 - 8lambda + 16
Então, a equação característica é:
lambda^2 - 8lambda + 16 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
lambda = 8 pm raiz64 - 642 = 8 pm 02 = 4
Então, temos um autovalor repetido lambda = 4 .

Passo 6

Com um autovalor repetido, precisamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos resolver (A - 4I)v = 0 :
2 - 4 & 4 -1 & 6 - 4 v1 v2 = -2 & 4 -1 & 2 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação:
-2v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2
Então, podemos escolher v2 = 1 , assim o autovetor é:
v = 2 1

Passo 7

Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Resolvemos (A - 4I)w = v :
-2 & 4 -1 & 2 w1 w2 = 2 1
Isso nos dá:
-2w1 + 4w2 = 2 -1w1 + 2w2 = 1
Resolvendo, vemos que as duas equações são equivalentes, então podemos escolher w2 = 0 , o que dá w1 = -1 . Assim, o autovetor generalizado é:
w = -1 0

Passo 8

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema:
X(t) = e^lambda t ( C1 v + C2 (w + t v) )
Substituindo os valores encontrados:
X(t) = e^4t ( C1 2 1 + C2 ( -1 0 + t 2 1 ) )

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial X(0) = -1 6 :
Quando t = 0 :
X(0) = e^0 ( C1 2 1 + C2 -1 0 ) = -1 6
Então, temos:
2C1 - C2 = -1 C1 = 6
Resolvendo para C2 :
2(6) - C2 = -1 12 - C2 = -1 C2 = 13

Resposta

A solução do sistema é:
X(t) = e^4t ( 6 2 1 + 13 ( -1 0 + t 2 1 ) )
Ou, de forma expandida:
X(t) = e^4t 12 - 13 + 26t 6 + 13t = e^4t -1 + 26t 6 + 13t

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