Resolva o sistema dado sujeito à condição inicial indicada.
X^prime=[cc-1 & -2 3 & 4] X+[l3 3], X(0)=[c-4 5]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear não-homogêneo
X' = A, X + b, A = -1 & -23 & 4, b = 33,
com condição inicial X(0)=(-4,5)^T.
Vamos usar o método de decompor a solução em parte particular estacionária Xp (que satisfaz A Xp+ b=0) e a solução geral da homogênea Xh (que satisfaz Xh'=A Xh), e então aplicar a condição inicial.

Passo 2

Procuramos a parte particular constante
Isto dá o sistema
Da primeira equação vem . Portanto

Passo 3

Agora resolvemos a homogênea Xh' = A, Xh. O polinômio característico é
det(A-lambda I)=(-1-lambda)(4-lambda)-(-2cdot3) =lambda^2-3lambda+2=0,
cuja raízes são lambda1=2 e lambda2=1.
Para lambda1=2, resolvemos (A-2I) v=0:
-3 & -23 & 2 v=0 ;Longrightarrow; v1=2-3
Para lambda2=1,
-2 & -23 & 3 v=0 ;Longrightarrow; v2=1-1
Logo a solução geral da homogênea é
Xh(t) = C1 e^2t2-3 + C2 e^t1-1

Passo 4

A solução geral do sistema não-homogêneo é
X(t) = Xh(t) + Xp
Impondo X(0)=(-4,5)^T, temos
X(0)- Xp = -45 - -96 = 5-1 = C12-3 + C21-1
Daí
2C1 + C2 = 5, -3C1 - C2 = -1 ;Longrightarrow; C1=-4,;C2=13
Portanto
X(t) = -4,e^2t2-3 + 13,e^t1-1 + -96

Resposta

As componentes ficam
X1(t) = -8,e^2t + 13,e^t -9, X2(t) = 12,e^2t -13,e^t +6

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