Solve the IVP. Show the steps of derivation, beginning with the general solution.
y^prime cosh ^2 x=sin ^2 y, y(0)=12 pi

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
y'(x),cosh^2 x = sin^2 y,
com condição inicial y(0)=tfracpi2.
O método a usar é separação de variáveis, já que podemos escrever a derivada isolada em y e x.

Passo 2

Vamos reescrever a equação para separar y e x. Como
y' = dydx,
temos
dydx = sin^2 ycosh^2 x
Agora separamos as variáveis:
dysin^2 y = dxcosh^2 x

Passo 3

Integramos ambos os lados:
Sabemos que
Logo obtemos, com constante :

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=tfracpi2, temos
-cot!l(tfracpi2r) ;=;tanh(0) + C ;Longrightarrow; 0 = 0 + C ;Longrightarrow; C=0
Assim ficamos com
-cot y = tanh x ;Longrightarrow; cot y = -,tanh x

Passo 5

Para isolar , usamos a função inversa do cotangente no ramo principal :
Verifica-se facilmente que , conforme exigido.

Resposta

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