Solve the IVP. Show the steps of derivation, beginning with the general solution.
y^prime=-4 x / y, y(2)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
y' = -dfrac4xy, \quad y(2)=3.
Este é um caso clássico de EDO de variáveis separáveis: basta escrever y e dy de um lado, x e dx do outro, e integrar.

Passo 2

Separamos variáveis multiplicando ambos os lados por y,dx:
y,dy = -4x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral -4x,dx
A integral de y em relação a y é tfracy^22 e a de -4x em relação a x é -2x^2, mais constante de integração C. Logo
y^22 = -2x^2 + C
Multiplicando por 2, obtemos a forma implícita da solução geral:
y^2 = -4x^2 + C',
onde C' = 2C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(2)=3. Substituindo x=2 e y=3 em y^2 = -4x^2 + C', dá
9 = -4cdot 4 + C' Longrightarrow C' = 9 +16 = 25
Assim a solução implícita fica
y^2 = 25 - 4x^2

Passo 5

Para isolar y, tiramos raiz quadrada em ambos os lados:
y = pmraiz25 - 4x^2
Como a condição inicial dá y(2)=3>0, escolhemos o sinal positivo. Portanto a solução particular é
y(x) = raiz25 - 4x^2

Resposta

y(x) = raiz25 - 4x^2

Exercícios relacionados