Resolva o sistema dado sujeito à condição inicial indicada:
Passo 1
Estamos diante de um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes, dado por
[
\frac{dx}{dt} = 2x + 4y,\
\frac{dy}{dt} = -x + 6y,
]
e com condições iniciais x(0)=–1 e y(0)=6. Para resolver, vamos usar autovalores, autovetores (e, por ser repetido, vetor generalizado) da matriz de coeficientes e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial X' = AX, onde
[
\mathbf{X} = xy,
\quad
A = 2 & 4-1 & 6.
]
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de A impondo det(A - lambda I)=0:
[
\det2-lambda & 4-1 & 6-lambda
= (2-\lambda)(6-\lambda)+4
= \lambda^2 -8\lambda +16 =0,
]
o que dá autovalor único lambda=4 com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Para lambda=4 resolvemos (A - 4I)v=0 para encontrar um autovetor:
[
(A - 4I) = -2 & 4-1 & 2,
]
que gera a equação -2v1+4v2=0 e -v1+2v2=0. Tomando v2=1, temos v=(2,1). Como a multiplicidade geométrica é 1, achamos também um vetor generalizado w tal que (A-4I)w=v. Resolvendo
[ -2 & 4-1 & 2 w1w2
= 21,
]
podemos escolher w2=0 e obter w1=-1, logo w=(-1,0).
Passo 5
A solução geral do sistema usando o caso de autovalor duplo com vetor generalizado é
[
\mathbf{X}(t) = C_1 e^{4t}v
C_2 e^{4t}(t,v + w).
]
Passo 6
Aplicamos a condição inicial X(0)=(-1,6)^T, ou seja
[
C_1 v + C_2 w = -16.
]
Isso gera o sistema
[
2C_1 - C_2 = -1,\
1\cdot C_1 + 0\cdot C_2 = 6,
]
cuja solução é C1=6 e C2=13.
Passo 7
Substituindo C1 e C2 na solução geral e escrevendo em componentes, obtemos
[
x(t) = e^{4t}(26t - 1),
]
[
y(t) = e^{4t}(6 + 13t).
]