Resolva o sistema dependendo do parâmetro k :
l x+y+z=1 x+2 y+3 z=k x+3 y+6 z=3 k

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x+y+z=1, x+2y+3z=k, x+3y+6z=3k,
dependendo do parâmetro k. O conteúdo aqui é resolução de sistemas 3×3 usando eliminação de Gauss (ou Cramer) e análise de existência pela matriz dos coeficientes.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 3 & 6
e calculamos seu determinante:
det(A) =1cdot(2cdot6 - 3cdot3) -1cdot(1cdot6 - 3cdot1) +1cdot(1cdot3 - 2cdot1) =1cdot(12-9)-(6-3)+(3-2) =3-3+1 =1
Como det(A)=1neq0, o sistema tem solução única para todo k.

Passo 3

Usamos a primeira equação para expressar x em função de y,z:
x = 1 - y - z
Substituindo em
x+2y+3z=k e x+3y+6z=3k
obtemos duas equações em y,z:
(1 - y - z) + 2y + 3z = k Longrightarrow y + 2z = k - 1, tagA
(1 - y - z) + 3y + 6z = 3k Longrightarrow 2y + 5z = 3k - 1 tagB

Passo 4

Resolvendo o sistema
y + 2z = k - 1, 2y + 5z = 3k - 1
fazemos y = k - 1 - 2z em (B):
2(k - 1 - 2z) + 5z = 3k - 1 ;Longrightarrow; 2k - 2 - 4z + 5z = 3k - 1 ;Longrightarrow; z = k + 1
Em seguida,
y = k - 1 - 2(k + 1) = -,k - 3

Passo 5

Finalmente, de x = 1 - y - z vem
x = 1 - (-k - 3) - (k + 1) = 3

Resposta

A solução única do sistema é
(x,y,z) = l(3,,-k-3,,k+1r),
para todo real k.

Exercícios relacionados