Resolva o sistema de equações diferenciais dado por:
com as condições iniciais x1(0)=1, x2(0)=0, e x3(0)=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver um sistema de equações diferenciais lineares usando uma matriz. A gente vai precisar saber como resolver sistemas de equações diferenciais, especialmente quando a matriz é triangular, como nesse caso. Vamos resolver passo a passo para encontrar as funções $ x_1(t) $, $ x_2(t) $ e $ x_3(t) $ que satisfazem as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações diferenciais individualmente a partir da matriz:
dx1dt = 2x1 + x2 dx2dt = 3x2 + x3 dx3dt = 4x3
Passo 3
Vamos começar pela última equação, que é a mais simples:
dx3dt = 4x3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
x3(t) = C3 e^4t
Passo 4
Agora, com $ x_3(t) $ conhecida, vamos para a segunda equação:
x3(t)
Essa é uma equação diferencial não homogênea. Usamos o método do fator integrante. O fator é $ e^{-3t} $:
dx2dt = 3x2 + x3(t) = 3x2 + C3 e^4t
Integrando ambos os lados:
e^-3t
Multiplicando por $ e^{3t} $:
e^-3t dx2dt - 3e^-3tx2 = C3 e^t
Passo 5
Com $ x_2(t) $ e $ x_3(t) $ em mãos, vamos para a primeira equação:
x2(t)
Novamente, usamos o método do fator integrante. O fator é $ e^{-2t} $:
x3(t)
Integrando:
dx1dt = 2x1 + x2(t) = 2x1 + C3 e^4t + C2 e^3t
Multiplicando por $ e^{2t} $:
e^-2t
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1, C_2, C_3 $: