Resolva o sistema de equações diferenciais
l d x1d t=2 x1+x2 d x2d t=-x2+x3 d x3d t=-3 x3
Onde x1(0)=1, x2(0)=0 e x3(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais! O que a gente tem aí é um conjunto de três equações que descrevem como as funções $ x_1(t) $, $ x_2(t) $ e $ x_3(t) $ mudam ao longo do tempo $ t x1(t) éçõ t = 0 $), temos $ x_1(0) = 1 $, $ x_2(0) = 0 $ e $ x_3(0) = 2 $.
Vamos precisar usar técnicas de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias. A ideia é resolver uma equação de cada vez, começando pela que for mais simples.

Passo 2

Vamos começar pela terceira equação, porque ela é independente das outras e mais fácil de resolver:
d x3d t = -3 x3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para uma equação da forma $ \frac{d y}{dt} = k y $ é:
d ydt = k y
No nosso caso, $ k = -3 $, então a solução para $ x_3(t) $ é:
y(t) = y(0) e^k t

Passo 3

Agora que temos $ x_3(t) $, vamos resolver a segunda equação:
x3(t)
Substituindo $ x_3(t) $ que encontramos:
d x2d t = -x2 + x3(t)
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante. A forma geral é:
x3(t)
Comparando, temos $ P(t) = 1 $ e $ Q(t) = 2 e^{-3 t} $. O fator integrante $ \mu(t) $ é:
d x2d t = -x2 + 2 e^-3 t
Multiplicando toda a equação por $ \mu(t) $:
d ydt + P(t) y = Q(t)
O lado esquerdo é a derivada de $ x_{2} e^{t} $:
P(t) = 1
Integrando ambos os lados:
Q(t) = 2 e^-3 t
Dividindo por $ e^{t} $:
mu(t)
Agora, aplicamos a condição inicial $ x_{2}(0) = 0 $:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1 dt = e^t
Portanto, a solução para $ x_{2}(t) $ é:
mu(t)

Passo 4

Finalmente, vamos resolver a primeira equação usando $ x_{2}(t) $ que encontramos:
x2(t)
Substituindo $ x_{2}(t) $:
d x1d t = 2 x1 + x2(t)
Rearranjando:
x2(t)
Essa é mais uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante novamente:
d x1d t = 2 x1 - e^-3 t + e^-t
Multiplicando toda a equação por $ \mu(t) $:
d x1d t - 2 x1 = -e^-3 t + e^-t
O lado esquerdo é a derivada de $ x_{1} e^{-2 t} $:
mu(t) = e^integral -2 dt = e^-2 t
Integrando ambos os lados:
mu(t)
Multiplicando por $ e^{2 t} $:
e^-2 t d x1d t - 2 e^-2 t x1 = -e^-5 t + e^-3 t
Aplicando a condição inicial $ x_{1}(0) = 1 $:
x1 e^-2 t
Então, a solução para $ x_{1}(t) $ é:
ddt ( x1 e^-2 t ) = -e^-5 t + e^-3 t

Resposta

A solução do sistema é:
x1(t) = dfrac15 e^-3 t - dfrac13 e^- t + dfrac1715 e^2 t x2(t) = - e^-3 t + e^- t x3(t) = 2 e^-3 t

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