Use transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial
y^prime prime+4 y=sen(2 t), y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 4y = sin(2t), y(0) = 1, y'(0) = 0
Aqui, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para $ Y(s) $ e depois aplicar a transformada inversa para encontrar $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
  • A transformada de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $.
  • A transformada de $ y(t) $ é $ Y(s) $.
  • A transformada de $ \sin(2t) $ é $ \frac{2}{s^2 + 4} $.
Então, aplicando isso na nossa equação:
y''(t)
Substituindo as transformadas:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = 0

Passo 4

Vamos isolar $ Y(s) $ na equação. Primeiro, movemos o termo $ -s $ para o outro lado:
Y(s)
Agora, dividimos ambos os lados por $ s^2 + 4 $:
-s

Passo 5

Agora, temos que aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Vamos separar os termos:
  1. $ \frac{s}{s^2 + 4} $ é a transformada de $ \cos(2t) $.
  2. $ \frac{2}{(s^2 + 4)^2} $ requer o uso da tabela de transformadas para $ t \sin(bt) $. Sabemos que:
y(t)
No nosso caso, $ b = 2 $, então:
ss^2 + 4
Portanto, a transformada inversa é:
cos(2t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 12 t sin(2t) + cos(2t)

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