Use transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para $ Y(s) $ e depois aplicar a transformada inversa para encontrar $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
- A transformada de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $.
- A transformada de $ y(t) $ é $ Y(s) $.
- A transformada de $ \sin(2t) $ é $ \frac{2}{s^2 + 4} $.
Então, aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar $ Y(s) $ na equação. Primeiro, movemos o termo $ -s $ para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por $ s^2 + 4 $:
Passo 5
Agora, temos que aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Vamos separar os termos:
- $ \frac{s}{s^2 + 4} $ é a transformada de $ \cos(2t) $.
- $ \frac{2}{(s^2 + 4)^2} $ requer o uso da tabela de transformadas para $ t \sin(bt) $. Sabemos que:
No nosso caso, $ b = 2 $, então:
Portanto, a transformada inversa é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: