Observação imediata (pegando diretamente do enunciado): a segunda equação simplifica porque -4x+x = -3x. Portanto a segunda equação é
y^{\prime}=-3x.
O que o problema pede é achar as funções x(t) e y(t) que satisfazem esse sistema com as condições iniciais.]
Passo 2
Qual estratégia usar? Aqui a forma mais direta é eliminar y para obter uma única equação para x. Isso se faz diferenciando a primeira equação para obter x'' e substituindo y' pela expressão conhecida. Explico a ideia: se temos
x' = 3x + y,
podemos derivar ambos os lados para relacionar x'' com y'; como temos y'=-3x, podemos substituir e obter uma equação só em x. Essa técnica de eliminação é padrão e costuma ser mais simples do que tentar diagonalizar matrizes quando os coeficientes são pequenos como aqui.
Passo 3
Derivando a primeira equação em relação a t:
x'' = 3x' + y'.
Agora substituímos y' = -3x (peguei isso da equação dada):
x'' = 3x' - 3x.
Reorganizando, obtemos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
x'' - 3x' + 3x = 0.
Passo 4
Para resolver a equação linear homogênea de coeficientes constantes usamos a equação característica. Supondo uma solução da forma x(t)=e^{rt} leva à equação
r^{2}-3r+3=0.
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot3 = 9-12 = -3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{3}{2} \pm \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Quando as raízes são a\pm \mathrm{i}b, a solução geral real é
Agora encontramos y(t) usando y = x' - 3x. Podemos usar a fórmula já obtida para x'(t) e subtrair 3x(t). Para agilizar, escrevemos a combinação linear resultante: com a=\dfrac{3}{2}, b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, C_{1}=2, C_{2}=\dfrac{8}{\sqrt{3}},
Rápida verificação das condições iniciais: em t=0,
x(0)=2,\qquad y(0)=1,
pois x(0)=2\cdot1+ \dfrac{8}{\sqrt{3}}\cdot 0 =2 e y(0)=1\cdot1 -5\sqrt{3}\cdot 0 =1. As condições são satisfeitas. Isso dá confiança de que os cálculos estão corretos.