Resolva o sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=3 x+y, \\ y^{\prime}=-4 x+x, \end{array} \quad x(0)=2, y(0)=1 .\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=3x+y,\\[4pt] y^{\prime}=-4x+x,\\[4pt] x(0)=2,\; y(0)=1. \end{array}\right.
Observação imediata (pegando diretamente do enunciado): a segunda equação simplifica porque -4x+x = -3x. Portanto a segunda equação é
y^{\prime}=-3x.
O que o problema pede é achar as funções x(t) e y(t) que satisfazem esse sistema com as condições iniciais.]

Passo 2

Qual estratégia usar? Aqui a forma mais direta é eliminar y para obter uma única equação para x. Isso se faz diferenciando a primeira equação para obter x'' e substituindo y' pela expressão conhecida. Explico a ideia: se temos
x' = 3x + y,
podemos derivar ambos os lados para relacionar x'' com y'; como temos y'=-3x, podemos substituir e obter uma equação só em x. Essa técnica de eliminação é padrão e costuma ser mais simples do que tentar diagonalizar matrizes quando os coeficientes são pequenos como aqui.

Passo 3

Derivando a primeira equação em relação a t:
x'' = 3x' + y'.
Agora substituímos y' = -3x (peguei isso da equação dada):
x'' = 3x' - 3x.
Reorganizando, obtemos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
x'' - 3x' + 3x = 0.

Passo 4

Para resolver a equação linear homogênea de coeficientes constantes usamos a equação característica. Supondo uma solução da forma x(t)=e^{rt} leva à equação
r^{2}-3r+3=0.
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot3 = 9-12 = -3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{3}{2} \pm \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Quando as raízes são a\pm \mathrm{i}b, a solução geral real é
x(t) = e^{at}\big(C_{1}\cos(bt) + C_{2}\sin(bt)\big).
Aqui a=\dfrac{3}{2} e b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Escrevendo a solução geral de x(t) com constantes C_{1},C_{2}:
x(t) = e^{\frac{3}{2}t}\left(C_{1}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) + C_{2}\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right).
Essas constantes serão determinadas pelas condições iniciais. Lembre que C_{1}=x(0) quando avaliamos t=0, porque e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0.

Passo 6

Aplicando a condição inicial x(0)=2:
x(0)=C_{1}=2,
ou seja \;C_{1}=2.
Para achar C_{2} usamos a relação entre y e x. Da primeira equação temos
y = x' - 3x.
Logo, avaliando em t=0,
y(0) = x'(0) - 3x(0).
Sabemos y(0)=1 e x(0)=2, então
1 = x'(0) - 3\cdot 2 = x'(0) - 6,
portanto
x'(0) = 7.
Agora precisamos de x'(t) para relacionar com C_{2}. Diferenciando a expressão geral de x(t) (usando regra do produto) obtemos, em forma organizada,
x'(t)=e^{at}\big((aC_{1}+bC_{2})\cos(bt) + (aC_{2}-bC_{1})\sin(bt)\big),
onde a=\dfrac{3}{2} e b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
x'(0)=aC_{1}+bC_{2}.
Substituindo C_{1}=2 e x'(0)=7,
7 = a\cdot 2 + b C_{2}.
Calculamos a\cdot 2 = \dfrac{3}{2}\cdot 2 = 3. Assim
7 = 3 + b C_{2} \quad\Rightarrow\quad b C_{2} = 4.
Como b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, segue
C_{2} = \frac{4}{b} = \frac{4}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}}.

Passo 7

Então a solução para x(t) com constantes determinadas é
x(t) = e^{\frac{3}{2}t}\left(2\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) + \frac{8}{\sqrt{3}}\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right).

Passo 8

Agora encontramos y(t) usando y = x' - 3x. Podemos usar a fórmula já obtida para x'(t) e subtrair 3x(t). Para agilizar, escrevemos a combinação linear resultante: com a=\dfrac{3}{2}, b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, C_{1}=2, C_{2}=\dfrac{8}{\sqrt{3}},
y(t)=e^{at}\Big(((a-3)C_{1}+bC_{2})\cos(bt) + ((a-3)C_{2}-bC_{1})\sin(bt)\Big).
Vamos calcular cada coeficiente:
  • Primeiro coeficiente (do \cos):
(a-3)C_{1}+bC_{2} = \left(\frac{3}{2}-3\right)\cdot 2 + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{8}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{2}\cdot 2 + \frac{8}{2} = -3 + 4 = 1.
  • Segundo coeficiente (do \sin):
(a-3)C_{2}-bC_{1} = \left(\frac{3}{2}-3\right)\cdot\frac{8}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2 = -\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = -\frac{12}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}.
Colocando em uma única fração:
-\frac{12}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = -\frac{12+3}{\sqrt{3}} = -\frac{15}{\sqrt{3}} = -5\sqrt{3}.
Portanto
y(t)=e^{\frac{3}{2}t}\left(\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) - 5\sqrt{3}\,\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right).

Passo 9

Rápida verificação das condições iniciais: em t=0,
x(0)=2,\qquad y(0)=1,
pois x(0)=2\cdot1+ \dfrac{8}{\sqrt{3}}\cdot 0 =2 e y(0)=1\cdot1 -5\sqrt{3}\cdot 0 =1. As condições são satisfeitas. Isso dá confiança de que os cálculos estão corretos.

Resposta

x(t)=e^{\frac{3}{2}t}\left(2\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+\frac{8}{\sqrt{3}}\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right)
y(t)=e^{\frac{3}{2}t}\left(\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)-5\sqrt{3}\,\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right)

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