Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo, utilizando propriedades como derivação, convolução ou translação, quando necessário: k(t)=u(t-4)(t-4)^{2}
Passo 1
O enunciado dá a função
k(t)=u(t-4)(t-4)^{2},
onde u(t-4) é a função degrau unitário deslocada. A tarefa é calcular a Transformada de Laplace de k(t), ou seja encontrar \mathcal{L}\{k(t)\}(s). Informações relevantes fornecidas:
A função é nula para t<4 por causa de u(t-4).
Para t\ge 4 a parte não nula é (t-4)^2.
O resultado deverá ser uma função de s.
Passo 2
Vou escrever a definição integral da Transformada de Laplace e usar o fato de que u(t-4)=0 para t<4 e u(t-4)=1 para t\ge4. Por definição,
Vou calcular I(s) por partes (duas vezes). Primeiro, ponha u=\tau^{2} e dv=e^{-s\tau}d\tau. Então du=2\tau d\tau e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s\tau}. Aplicando integração por partes:
Agora calcule J(s)=\int_{0}^{\infty}\tau e^{-s\tau}\,d\tau por partes outra vez: tome u=\tau, dv=e^{-s\tau}d\tau. Então du=d\tau, v=-\dfrac{1}{s}e^{-s\tau}. Assim
A interpretação é que a presença de u(t-4) introduz o fator de atenuação exponencial e^{-4s} (translação no tempo) e a parte (t-4)^{2} fornece a transformada \dfrac{2}{s^{3}}. A região de convergência é s>0.