Resolva a equação diferencial usando Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+4 y=\sin (2 t), \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução y(t):
y^{\prime\prime}+4y=\sin(2t),\qquad y(0)=1,\\ y^{\prime}(0)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação linear de segunda ordem com termo forçante \sin(2t).
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.
    O objetivo é encontrar y(t) para t\ge 0.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace.
Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Propriedades que usaremos (explicadas rapidamente):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Transformada de derivadas (resultados que vêm de integrar por partes; aqui só uso o resultado final, com explicação intuitiva): \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0),onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformada de seno e cosseno: \mathcal{L}\{\sin a t\}=\frac{a}{s^2+a^2}, \qquad \mathcal{L}\{\cos a t\}=\frac{s}{s^2+a^2}.
Vou usar essas fórmulas diretamente e explico quando for necessário.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial termo a termo. Tomando transformada:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{\sin(2t)\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas e das funções (e lembrando y(0)=1,\\ y'(0)=0):
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)\bigr)+4Y(s)=\frac{2}{s^2+4}.
Agora substituir y(0)=1 e y'(0)=0:
s^2Y(s)-s+4Y(s)=\frac{2}{s^2+4}.

Passo 4

Isolar Y(s). Agrupando Y(s):
\bigl(s^2+4\bigr)Y(s)-s=\frac{2}{s^2+4}.
Então
\bigl(s^2+4\bigr)Y(s)=s+\frac{2}{s^2+4}.
Dividindo:
Y(s)=\frac{s}{s^2+4}+\frac{2}{(s^2+4)^2}.
Explicação rápida: escrevemos Y(s) como soma de duas frações para usar transformadas inversas conhecidas.

Passo 5

Invertendo a transformada termo a termo.
  1. O primeiro termo \dfrac{s}{s^2+4} é exatamente a transformada de \cos(2t), pois
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^2+2^2}.
Logo a inversa desse termo é \cos(2t).
  1. O segundo termo \dfrac{2}{(s^2+4)^2} precisa de uma fórmula para \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+a^2)^2\}. Vou obter essa fórmula de forma didática.
Considere a>0. Usa-se a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}. Aplicando a isso com f(t)=\sin(a t), temos:
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\frac{a}{s^2+a^2}.
Derivando em s e mudando sinal:
\mathcal{L}\{t\sin(a t)\}=-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{a}{s^2+a^2}\right) = \frac{2a s}{(s^2+a^2)^2}.
Também podemos combinar transformadas para obter uma expressão sem s no numerador. Observe a combinação
\sin(a t)-a t\cos(a t).
Calcule a transformada dessa combinação (usando \mathcal{L}\{t\cos(at)\}=-\dfrac{d}{ds}\dfrac{s}{s^2+a^2}):
uma conta direta (mostrada resumida) dá
\mathcal{L}\{\sin(a t)-a t\cos(a t)\}=\frac{2a^3}{(s^2+a^2)^2}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2+a^2)^2}\right\}=\frac{1}{2a^3}\bigl(\sin(a t)-a t\cos(a t)\bigr).
Agora aplique com a=2. Então
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2+4)^2}\right\} =\frac{1}{2\cdot 2^3}\bigl(\sin(2t)-2t\cos(2t)\bigr) =\frac{1}{16}\bigl(\sin(2t)-2t\cos(2t)\bigr).
Multiplicando por 2 (porque nosso termo é 2/(s^2+4)^2):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s^2+4)^2}\right\} =2\cdot\frac{1}{16}\bigl(\sin(2t)-2t\cos(2t)\bigr) =\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{1}{4}t\cos(2t).

Passo 6

Juntando as inversas dos dois termos temos a solução y(t):
y(t)=\cos(2t)+\left(\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{1}{4}t\cos(2t)\right).
Podemos reorganizar se preferir:
y(t)=\cos(2t)-\frac{1}{4}t\cos(2t)+\frac{1}{8}\sin(2t).
Rápida verificação das condições iniciais (só para garantir que está tudo certo):
  • y(0)=\cos 0 -0 +0 =1 ok.
  • calcular y'(t) e avaliar em t=0 (feito rapidamente) dá y'(0)=0 ok.

Resposta

y(t)=\cos(2t)-\frac{1}{4}\,t\cos(2t)+\frac{1}{8}\sin(2t).

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