Resolva a equação diferencial usando Transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação linear de segunda ordem com termo forçante
. - Condições iniciais:
e .
O objetivo é encontrarpara .
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace.
Definição:
Propriedades que usaremos (explicadas rapidamente):
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas (resultados que vêm de integrar por partes; aqui só uso o resultado final, com explicação intuitiva):
onde . - Transformada de seno e cosseno:
Vou usar essas fórmulas diretamente e explico quando for necessário.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial termo a termo. Tomando transformada:
Substituindo as fórmulas das derivadas e das funções (e lembrando
):
Agora substituir
e
:
Passo 4
Isolar
. Agrupando
:
Então
Dividindo:
Explicação rápida: escrevemos
como soma de duas frações para usar transformadas inversas conhecidas.
Passo 5
Invertendo a transformada termo a termo.
- O primeiro termo
é exatamente a transformada de , pois
Logo a inversa desse termo é
.
- O segundo termo
precisa de uma fórmula para . Vou obter essa fórmula de forma didática.
Considere
. Usa-se a propriedade
. Aplicando a isso com
, temos:
Derivando em
e mudando sinal:
Também podemos combinar transformadas para obter uma expressão sem
no numerador. Observe a combinação
Calcule a transformada dessa combinação (usando
):
uma conta direta (mostrada resumida) dá
uma conta direta (mostrada resumida) dá
Portanto
Agora aplique com
. Então
Multiplicando por
(porque nosso termo é
):
Passo 6
Juntando as inversas dos dois termos temos a solução
:
Podemos reorganizar se preferir:
Rápida verificação das condições iniciais (só para garantir que está tudo certo):
-
ok. - calcular
e avaliar em (feito rapidamente) dá ok.