Determine os subespaços gerados por:
e
,
Passo 1
O enunciado fornece os vetores
e
em
e define o conjunto
isto é,
é o conjunto de todas as combinações lineares de
e
.
O que nos pedem: descrever o subespaço
gerado por esses vetores (uma descrição paramétrica e/ou cartesiana, e identificar uma base e a dimensão, se for conveniente).
Passo 2
Verificar se há relação simples entre
e
. Vou testar se
é múltiplo escalar de
.
Calculemos
:
Como
, concluímos que
.
Isso significa que
e
são linearmente dependentes — um é múltiplo do outro — então todas as combinações lineares de
e
reduzem-se a combinações de um único vetor.
Passo 3
Usar a dependência encontrada para simplificar a combinação linear genérica
.
Como
, tem-se:
Defina
. Então qualquer vetor
pode ser escrito como
Portanto
é o conjunto de todos os múltiplos escalares de
(uma reta passando pela origem).
Passo 4
Escrever
de forma paramétrica e em equação cartesiana, e identificar base e dimensão.
Parametricamente:
Componentes: se
e
, então
Daí
e
. Eliminando
(substituindo
):
Logo, em forma cartesiana:
que é uma reta passando pela origem.
Como
, o conjunto
é uma base de
. Alternativamente
também é base (já que
é múltiplo não nulo de
). A dimensão de
é
.
Passo 5
Verificação rápida (para fixar): o vetor nulo está em
(take
), e
é fechado sob soma e multiplicação por escalar porque é o conjunto de todos os múltiplos de um vetor — portanto é realmente um subespaço linear de
.
Resposta
Base: