Determine os subespaços gerados por: u_{1}=(-1,2) e u_{2}=(2,-4),
W=\left\{v=(x, y) \in R^{2}: v=a_{1} u_{1}+a_{2} u_{2}\right\}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \,u_{1}=(-1,2)\, e \,u_{2}=(2,-4)\, em \mathbb{R}^2 e define o conjunto
W=\{\,v=(x,y)\in\mathbb{R}^2 : v=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}\,\},
isto é, W é o conjunto de todas as combinações lineares de u_{1} e u_{2}.
O que nos pedem: descrever o subespaço W gerado por esses vetores (uma descrição paramétrica e/ou cartesiana, e identificar uma base e a dimensão, se for conveniente).

Passo 2

Verificar se há relação simples entre u_{1} e u_{2}. Vou testar se u_{2} é múltiplo escalar de u_{1}.
Calculemos -2u_{1}:
-2u_{1}=-2(-1,2)=(-2\cdot(-1),-2\cdot2)=(2,-4).
Como -2u_{1}=(2,-4)=u_{2}, concluímos que \,u_{2}=-2u_{1}\,.
Isso significa que u_{1} e u_{2} são linearmente dependentes — um é múltiplo do outro — então todas as combinações lineares de u_{1} e u_{2} reduzem-se a combinações de um único vetor.

Passo 3

Usar a dependência encontrada para simplificar a combinação linear genérica a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}.
Como u_{2}=-2u_{1}, tem-se:
a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}=a_{1}u_{1}+a_{2}(-2u_{1})=(a_{1}-2a_{2})u_{1}.
Defina t=a_{1}-2a_{2}. Então qualquer vetor v\in W pode ser escrito como
v=t\,u_{1}=t(-1,2),\qquad t\in\mathbb{R}.
Portanto W é o conjunto de todos os múltiplos escalares de u_{1} (uma reta passando pela origem).

Passo 4

Escrever W de forma paramétrica e em equação cartesiana, e identificar base e dimensão.
Parametricamente:
W=\{\,t(-1,2) : t\in\mathbb{R}\,\}.
Componentes: se t\in\mathbb{R} e v=t(-1,2), então
v=(x,y)=(-t,2t).
Daí x=-t e y=2t. Eliminando t (substituindo t=-x):
y=2t=2(-x)=-2x.
Logo, em forma cartesiana:
W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=-2x\},
que é uma reta passando pela origem.
Como u_{1}\neq(0,0), o conjunto \{u_{1}\} é uma base de W. Alternativamente \{u_{2}\} também é base (já que u_{2} é múltiplo não nulo de u_{1}). A dimensão de W é 1.

Passo 5

Verificação rápida (para fixar): o vetor nulo está em W (take t=0), e W é fechado sob soma e multiplicação por escalar porque é o conjunto de todos os múltiplos de um vetor — portanto é realmente um subespaço linear de \mathbb{R}^2.

Resposta

W=\{t(-1,2):t\in\mathbb{R}\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=-2x\}.
Base: \{(-1,2)\} (ou \{(2,-4)\}).
\dim W=1.

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