Resolva o sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer:
l 5 x-3 y+2 z-7 x+4 y-z-2 3 x-y+5 z-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer. O que a gente tem aqui é um conjunto de três equações com três incógnitas: $ x $, $ y $ e $ z $. Para resolver usando a Regra de Cramer, vamos precisar calcular determinantes de matrizes e entender como substituições funcionam nesse método. Então, bora lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis nas três equações. O sistema que temos é:
5x - 3y + 2z = 7 x + 4y - z = 2 3x - y + 5z = 12
Aqui, os coeficientes das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $ nas três equações são:
x
Vamos organizar esses coeficientes em uma matriz chamada matriz dos coeficientes:
y

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante $ D $ dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
D
Aplicando isso à nossa matriz:
D = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Calculando cada parte:
D = 5(4 times 5 - (-1) times (-1)) - (-3)(1 times 5 - (-1) times 3) + 2(1 times (-1) - 4 times 3)
D = 5(20 - 1) - (-3)(5 - (-3)) + 2(-1 - 12)
D = 5(19) + 3(8) + 2(-13)
Então, o determinante $ D = 93 $.

Passo 4

Como $ D $ é diferente de zero ($ D = 93 \neq 0 $), isso significa que o sistema tem uma solução única. Agora, vamos encontrar os determinantes $ D_x $, $ D_y $ e $ D_z $, que são usados para encontrar os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ respectivamente.
Para encontrar $ D_x $, substituímos a coluna dos $ x $ pelos termos constantes (7, 2, 12):
D
Calculando $ D_x $:
D = 93 neq 0
Dx
Dy
Dz
Agora, para $ D_y $, substituímos a coluna dos $ y $:
x
Calculando $ D_y $:
y
z
Dx
x
Por fim, para $ D_z $, substituímos a coluna dos $ z $:
Dx = 7 & -3 & 2 2 & 4 & -1 12 & -1 & 5
Calculando $ D_z $:
Dx
Dx = 7(4 times 5 - (-1) times (-1)) - (-3)(2 times 5 - (-1) times 12) + 2(2 times (-1) - 4 times 12)
Dx = 7(20 - 1) + 3(10 + 12) + 2(-2 - 48)
Dx = 7(19) + 3(22) + 2(-50)

Passo 5

Agora que temos $ D $, $ D_x $, $ D_y $ e $ D_z $, podemos encontrar os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ usando a Regra de Cramer:
D
Dx
Dy

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente:
x approx 1,06, y approx 0,71, z approx 1,90

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