Resolva o sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer. O que a gente tem aqui é um conjunto de três equações com três incógnitas: $ x $, $ y $ e $ z $. Para resolver usando a Regra de Cramer, vamos precisar calcular determinantes de matrizes e entender como substituições funcionam nesse método. Então, bora lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis nas três equações. O sistema que temos é:
Aqui, os coeficientes das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $ nas três equações são:
Vamos organizar esses coeficientes em uma matriz chamada matriz dos coeficientes:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante $ D $ dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
Aplicando isso à nossa matriz:
Calculando cada parte:
Então, o determinante $ D = 93 $.
Passo 4
Como $ D $ é diferente de zero ($ D = 93 \neq 0 $), isso significa que o sistema tem uma solução única. Agora, vamos encontrar os determinantes $ D_x $, $ D_y $ e $ D_z $, que são usados para encontrar os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ respectivamente.
Para encontrar $ D_x $, substituímos a coluna dos $ x $ pelos termos constantes (7, 2, 12):
Calculando $ D_x $:
Agora, para $ D_y $, substituímos a coluna dos $ y $:
Calculando $ D_y $:
Por fim, para $ D_z $, substituímos a coluna dos $ z $:
Calculando $ D_z $:
Passo 5
Agora que temos $ D $, $ D_x $, $ D_y $ e $ D_z $, podemos encontrar os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ usando a Regra de Cramer:
Resposta
A solução do sistema é aproximadamente: