Resolva o sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer:
l 4 x+y-3 z-1 2 x-y+z-4 x+2 y=z-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer. O que temos aqui são três equações com três incógnitas: x, y e z. Para aplicar a Regra de Cramer, a gente precisa montar uma matriz com os coeficientes das variáveis e calcular alguns determinantes. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações de forma padrão:
4x + y - 3z = 1 2x - y + z = 4 x + 2y - z = -3
Aqui, identificamos os coeficientes das variáveis x, y e z em cada equação.

Passo 3

Agora, montamos a matriz dos coeficientes A:
A = 4 & 1 & -3 2 & -1 & 1 1 & 2 & -1
A Regra de Cramer diz que x, y e z podem ser encontrados dividindo o determinante de matrizes específicas pelo determinante da matriz A.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A, que é D:
D = 4 & 1 & -3 2 & -1 & 1 1 & 2 & -1
Calculando:
D = 4 cdot -1 & 1 2 & -1 - 1 cdot 2 & 1 1 & -1 + (-3) cdot 2 & -1 1 & 2
D = 4 cdot ((-1)(-1) - (1)(2)) - 1 cdot ((2)(-1) - (1)(1)) + (-3) cdot ((2)(2) - (-1)(1))
D = 4 cdot (1 - 2) - 1 cdot (-2 -1) + (-3) cdot (4 +1)
D = 4 cdot (-1) -1 cdot (-3) + (-3) cdot 5
D = -4 + 3 -15 = -16

Passo 5

Agora, vamos encontrar Dx, que é o determinante da matriz onde substituímos a coluna de x pelos termos constantes:
Dx = 1 & 1 & -3 4 & -1 & 1 -3 & 2 & -1
Calculando da mesma forma:
Dx = 1 cdot -1 & 1 2 & -1 - 1 cdot 4 & 1 -3 & -1 + (-3) cdot 4 & -1 -3 & 2
Dx = 1 cdot ((-1)(-1) - (1)(2)) -1 cdot ((4)(-1) - (1)(-3)) + (-3) cdot ((4)(2) - (-1)(-3))
Dx = 1 cdot (1 -2) -1 cdot (-4 +3) + (-3) cdot (8 -3)
Dx = 1 cdot (-1) -1 cdot (-1) + (-3) cdot 5
Dx = -1 +1 -15 = -15

Passo 6

Agora, vamos achar Dy, substituindo a coluna de y pelos termos constantes:
Dy = 4 & 1 & -3 2 & 4 & 1 1 & -3 & -1
Calculando:
Dy = 4 cdot 4 & 1 -3 & -1 -1 cdot 2 & 1 1 & -1 + (-3) cdot 2 & 4 1 & -3
Dy = 4 cdot (4 cdot (-1) -1 cdot (-3)) -1 cdot (2 cdot (-1) -1 cdot1) + (-3) cdot (2 cdot (-3) -4 cdot1)
Dy = 4 cdot (-4 +3) -1 cdot (-2 -1) + (-3) cdot (-6 -4)
Dy = 4 cdot (-1) -1 cdot (-3) + (-3) cdot (-10)
Dy = -4 +3 +30 = 29

Passo 7

Por fim, vamos calcular Dz, substituindo a coluna de z pelos termos constantes:
Dz = 4 & 1 & 1 2 & -1 & 4 1 & 2 & -3
Calculando:
Dz = 4 cdot -1 & 4 2 & -3 -1 cdot 2 & 4 1 & -3 +1 cdot 2 & -1 1 & 2
Dz = 4 cdot ((-1)(-3) -4 cdot2) -1 cdot (2 cdot (-3) -4 cdot1) +1 cdot (2 cdot2 - (-1) cdot1)
Dz = 4 cdot (3 -8) -1 cdot (-6 -4) +1 cdot (4 +1)
Dz = 4 cdot (-5) -1 cdot (-10) +1 cdot5
Dz = -20 +10 +5 = -5

Resposta

Aplicando a Regra de Cramer:
x = DxD = -15-16 = 1516
y = DyD = 29-16 = -2916
z = DzD = -5-16 = 516
Então, a solução do sistema é:
x = 1516, y = -2916, z = 516

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