A taxa de depreciação
de determinada máquina é inversamente proporcional ao quadrado de
, onde
é o valor, em reais, da máquina
anos depois de ter sido comprada. Se a máquina foi comprada por
e seu valor decresceu
no primeiro ano, qual o valor estimado da máquina após 4 anos?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos uma questão sobre depreciação de uma máquina. A taxa de depreciação, que é quanto o valor da máquina está diminuindo ao longo do tempo, é inversamente proporcional ao quadrado de $ t + 1 $, onde $ t $ é o tempo em anos. Sabemos que a máquina foi comprada por R$ 500.000,00 e perdeu R$ 100.000,00 no primeiro ano. Nosso objetivo é descobrir quanto vale a máquina após 4 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a informação da taxa de depreciação para uma equação matemática. A taxa de depreciação é dada por $ \frac{dV}{dt} $, que representa a variação do valor $ V $ da máquina em relação ao tempo $ t $.
Sabemos que:
Isso significa que:
onde $ k $ é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ V(t) $. Para isso, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de $ dV $ é simplesmente $ V $, e a integral de $ \frac{1}{(t + 1)^2} $ em relação a $ t $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de $ k $ e $ C $ usando as condições que conhecemos. Sabemos que:
- Quando $ t = 0 $, o valor da máquina $ V(0) = R$ 500.000,00 $.
- Quando $ t = 1 $, o valor da máquina diminuiu R$ 100.000,00, então $ V(1) = R$ 400.000,00 $.
Vamos usar essas condições para encontrar $ k $ e $ C $.
Passo 5
Primeiro, usando $ t = 0 $ e $ V(0) = 500.000 $:
Passo 6
Agora, usando $ t = 1 $ e $ V(1) = 400.000 $:
Substituindo $ C $ da equação anterior:
Passo 7
Agora que temos $ k = -200.000 $, podemos encontrar $ C $ usando $ C = k + 500.000 $:
Passo 8
Agora, substituímos $ k $ e $ C $ na equação de $ V(t) $:
Passo 9
Finalmente, para encontrar o valor da máquina após 4 anos ($ t = 4 $):
Resposta
Após 4 anos, o valor estimado da máquina é de R$ 340.000,00.