Resolva o sistema de equações lineares
8 x+5 y+2 z & =15 21 x+19 y+16 z & =56 39 x+48 y+53 z & =140
utilizando o método da eliminação gaussiana. Em seguida, faça uma pequena modificação no sistema, trocando o valor
15 da primeira equação por 14, e então resolva novamente o sistema utilizando o método da eliminação gaussiana. O que se pode concluir sobre este sistema?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear
e pede para resolver por eliminação gaussiana. Em seguida, trocamos o termo independente da primeira equação de e resolvemos de novo. O conteúdo envolvido é aplicar operações elementares em linhas para triangularizar a matriz e então fazer substituição regressiva.

Passo 2

Triangularização do primeiro sistema:
Começamos com a matriz aumentada
[ccc|c 8 & 5 & 2 & 15 21 & 19 & 16 & 56 39 & 48 & 53 & 140 ]
Eliminamos o elemento abaixo de 8 na coluna 1:
R2 R2 - tfrac218R1, R3 R3 - tfrac398R1
Isso leva a
[ccc|c 8 & 5 & 2 & 15 0 & tfrac478 & tfrac434 & tfrac1338 0 & tfrac1898 & tfrac1734 & tfrac5358 ]
Multiplicando as linhas 2 e 3 por 8,
[ccc|c 8 & 5 & 2 & 15 0 & 47 & 86 & 133 0 & 189 & 346 & 535 ]
Em seguida, eliminamos o 189 embaixo de 47:
R3 R3 - tfrac18947R2,
ficando
[ccc|c 8 & 5 & 2 & 15 0 & 47 & 86 & 133 0 & 0 & tfrac847 & tfrac847 ]

Passo 3

Substituição regressiva para o primeiro sistema:
Da terceira linha,
tfrac847,z = tfrac847 Longrightarrow z = 1
Da segunda linha,
47,y + 86cdot1 = 133 Longrightarrow 47,y = 47 Longrightarrow y = 1
Da primeira linha,
8,x + 5cdot1 + 2cdot1 = 15 Longrightarrow 8,x = 8 Longrightarrow x = 1

Passo 4

Resolvendo o sistema com o termo independente da primeira equação igual a 14:
Repetimos a mesma sequência de operações, mas trocando 15 por 14. Na etapa de triangularização obtemos finalmente
[ccc|c 8 & 5 & 2 & 14 0 & 47 & 86 & 154 0 & 0 & tfrac847 & -tfrac212847 ]
Então, pela terceira linha,
tfrac847,z = -tfrac212847 Longrightarrow z = -266
Da segunda linha,
47,y + 86cdot(-266) = 154 Longrightarrow 47,y = 154 + 22876 = 23030 Longrightarrow y = 490
Da primeira linha,
8,x + 5cdot490 + 2cdot(-266) = 14 Longrightarrow 8,x = 14 - 2450 + 532 = -1904 Longrightarrow x = -238

Passo 5

Conclusão: a matriz de coeficientes é invertível (os pivôs nunca são zero), logo para qualquer termo independente (seja 15, 14 ou outro) o sistema tem solução única. A alteração de 15 para 14 muda os valores de (x,y,z), mas não gera inconsistência.

Resposta

Para o primeiro sistema (15) temos
(x,y,z) = (1,,1,,1)
Para o sistema modificado (14) temos
(x,y,z) = (-238,,490,,-266)
Em ambos os casos o sistema é compatível determinado, pois a matriz de coeficientes é não singular.

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