Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
x1+3 x2+2 x3+3 x4-7 x5 & =14 2 x1+6 x2+x3-2 x4+5 x5 & =-2 x1+3 x2-x3+2 x5 & =-1

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com três equações e cinco incógnitas e pede para resolver pelo método da eliminação de Gauss. O conteúdo que vamos usar é escalonamento de linhas (operações elementares) para chegar a um sistema triangular, seguido de retro-substituição, lembrando que teremos variáveis livres porque há mais incógnitas que equações.

Passo 2

Eliminamos x1 de Eq 2 e de Eq 3 usando Eq 1 como pivô:
R 2 R 2 - 2cdotR 1
R 3 R 3 - 1cdotR 1
Isso leva ao sistema
x1+3x2+2x3+3x4-7x5=14
-3x3-8x4+19x5=-30
-3x3-3x4+9x5=-15

Passo 3

Eliminamos x3 de Eq 3 usando Eq 2:
R 3 R 3 - R 2
O sistema escalonado torna-se
x1+3x2+2x3+3x4-7x5=14
-3x3-8x4+19x5=-30
5x4-10x5=15

Passo 4

Escalamos Eq 3 para obter pivô 1 em x4:
R 3 tfrac15 cdotR 3
x4-2x5=3

Passo 5

Fazemos retro-substituição começando por Eq 3, depois Eq 2 e por fim Eq 1.
Da Eq 3:
x4=3+2x5
Substituindo em Eq 2:
-3x3-8(3+2x5)+19x5=-30
-3x3-24-16x5+19x5=-30
-3x3-24+3x5=-30
x3=2+x5
Substituindo em Eq 1:
x1+3x2+2(2+x5)+3(3+2x5)-7x5=14
x1+3x2+4+2x5+9+6x5-7x5=14
x1+3x2+13+x5=14
x1=1-3x2-x5
Como há mais variáveis que equações, x2 e x5 são livres.

Resposta

Escolhendo x2=s e x5=t com s,tinR, a solução geral é
l(x1,x2,x3,x4,x5r) =l(1-3s-t,;s,;2+t,;3+2t,;tr)

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