Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear com três equações e cinco incógnitas e pede para resolver pelo método da eliminação de Gauss. O conteúdo que vamos usar é escalonamento de linhas (operações elementares) para chegar a um sistema triangular, seguido de retro-substituição, lembrando que teremos variáveis livres porque há mais incógnitas que equações.
Passo 2
Eliminamos x1 de Eq2 e de Eq3 usando Eq1 como pivô:
R2 R2 - 2cdotR1
R3 R3 - 1cdotR1
Isso leva ao sistema
x1+3x2+2x3+3x4-7x5=14
-3x3-8x4+19x5=-30
-3x3-3x4+9x5=-15
Passo 3
Eliminamos x3 de Eq3 usando Eq2:
R3 R3 - R2
O sistema escalonado torna-se
x1+3x2+2x3+3x4-7x5=14
-3x3-8x4+19x5=-30
5x4-10x5=15
Passo 4
Escalamos Eq3 para obter pivô 1 em x4:
R3 tfrac15 cdotR3
x4-2x5=3
Passo 5
Fazemos retro-substituição começando por Eq3, depois Eq2 e por fim Eq1.
Da Eq3:
x4=3+2x5
Substituindo em Eq2:
-3x3-8(3+2x5)+19x5=-30
-3x3-24-16x5+19x5=-30
-3x3-24+3x5=-30
x3=2+x5
Substituindo em Eq1:
x1+3x2+2(2+x5)+3(3+2x5)-7x5=14
x1+3x2+4+2x5+9+6x5-7x5=14
x1+3x2+13+x5=14
x1=1-3x2-x5
Como há mais variáveis que equações, x2 e x5 são livres.
Resposta
Escolhendo x2=s e x5=t com s,tinR, a solução geral é