Resolvendo um sistema de equações lineares, encontre os coeficientes da parábola y=alpha+beta x+gamma x^2 que passa pelos pontos (1,1), (2,2) e (3, 0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os coeficientes alpha, beta e gamma de uma parábola
y = alpha + beta x + gamma x^2
que passa pelos pontos (1,1), (2,2) e (3,0). O conteúdo aqui é a solução de um sistema linear 3times3 que obtemos ao substituir cada ponto na equação da parábola.

Passo 2

Substituindo (x,y)=(1,1), (2,2) e (3,0) na expressão y=alpha+beta x+gamma x^2, obtemos o sistema
alpha + beta + gamma = 1, alpha + 2beta + 4gamma = 2, alpha + 3beta + 9gamma = 0

Passo 3

Eliminamos alpha subtraindo a primeira equação das demais:
(alpha+2beta+4gamma)-(alpha+beta+gamma)=2-1 Longrightarrow beta+3gamma=1,
(alpha+3beta+9gamma)-(alpha+2beta+4gamma)=0-2 Longrightarrow beta+5gamma=-2
Agora subtraímos essas duas novas equações para achar gamma:
(beta+5gamma)-(beta+3gamma)=-2-1 Longrightarrow 2gamma=-3 Longrightarrow gamma=-tfrac32
Em seguida, voltamos em beta+3gamma=1:
beta+3l(-tfrac32r)=1 Longrightarrow beta-tfrac92=1 Longrightarrow beta=tfrac112

Passo 4

Por fim, substituímos beta e gamma na primeira equação alpha+beta+gamma=1:
alpha+tfrac112-tfrac32=1 Longrightarrow alpha+4=1 Longrightarrow alpha=-3

Resposta

alpha=-3, beta=tfrac112, gamma=-tfrac32.

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