Encontre ângulos alpha, beta e gamma tais que
l 2 sen alpha-cos beta+tg gamma=3 4 sen alpha+2 cos beta-2 tg gamma=2 6 sen alpha-3 cos beta+tg gamma=9
onde 0 <= alpha <= 2 pi, 0 <= beta <= 2 pi e 0 <= gamma <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar
com , .
Vamos chamar
e resolver o sistema linear em . Depois encontraremos os ângulos nos intervalos dados.

Passo 2

Escrevendo o sistema em x,y,z:
2x - y + z = 3, 4x + 2y - 2z = 2, 6x -3y + z = 9
Multiplicamos a primeira equação por 2:
4x - 2y + 2z = 6
e somamos com a segunda:
(4x+2y-2z)+(4x-2y+2z)=2+6 Longrightarrow 8x=8 Longrightarrow x=1

Passo 3

Substituindo x=1 na primeira equação:
2cdot1 - y + z = 3 Longrightarrow z = 3 - 2 + y = 1 + y
Agora usamos a terceira equação com x=1 e z=1+y:
6cdot1 -3y + (1+y) = 9 Longrightarrow 6 -3y +1 + y = 9 Longrightarrow 7 -2y = 9 Longrightarrow -2y = 2 Longrightarrow y = -1
Então z = 1 + (-1) = 0. Ficamos com
x=1, y=-1, z=0

Passo 4

Voltando às funções trigonométricas:
sinalpha = x = 1 Longrightarrow alpha = pi2
no intervalo [0,2pi].

Passo 5

cosbeta = y = -1 Longrightarrow beta = pi
no intervalo [0,2pi].

Passo 6

tangamma = z = 0
no intervalo [0,pi] a tangente anula-se em gamma=0 e gamma=pi.

Resposta

alpha = pi2, beta = pi, gamma = 0 ou gamma = pi.

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