e pede que eu resolva por iteração de Gauss–Jacobi e por Gauss–Seidel usando tolerância \varepsilon=0,01 e aproximação inicial (0,0,0).\n
Informações relevantes que eu tenho e que vou usar: \; - sistema e vetor inicial x^{(0)}=(0,0,0);\n \; - tolerância \varepsilon=0,01 (vou usar critério de parada \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon, ou seja, a máxima diferença absoluta entre componentes);\n \; - preciso apresentar iterações até o critério ser satisfeito para cada método e a aproximação final.]
Passo 2
Explico a ideia do método de Gauss–Jacobi (didaticamente): em cada equação isolamos a variável principal (a que tem coeficiente diagonal) e calculamos a nova estimativa dessa variável usando só os valores da iteração anterior. Para o nosso sistema, isolando cada variável temos as fórmulas de iteração de Jacobi:
O que cada símbolo significa: \;x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)} são as aproximações no passo k. Para calcular x^{(k+1)} uso apenas y^{(k)},z^{(k)} (método Jacobi).\n
Critério de parada: computo as diferenças |x^{(k+1)}-x^{(k)}|, |y^{(k+1)}-y^{(k)}|, |z^{(k+1)}-z^{(k)}| e paro quando a maior dessas for menor que 0,01.
Passo 3
Vou começar as iterações de Jacobi com x^{(0)}=0, y^{(0)}=0, z^{(0)}=0.
Iteração 1 (k=0\to1):
x^{(1)}=\frac{1}{4}(7-0-0)=\frac{7}{4}=1{,}75,
y^{(1)}=\frac{1}{5}(-8-0-0)=-\frac{8}{5}=-1{,}6,
z^{(1)}=\frac{1}{6}(6-0-0)=1.
Diferenças máximas \max\{1{,}75,1{,}6,1\}=1{,}75>0{,}01, não para.
Diferenças entre iterações 8 e 7: |x^{(8)}-x^{(7)}|\approx0{,}0059007, |y^{(8)}-y^{(7)}|\approx0{,}0062465, |z^{(8)}-z^{(7)}|\approx0{,}0059998. O máximo é \approx0{,}0062465<0{,}01, portanto o critério é satisfeito e paro o método de Jacobi na iteração 8.
Passo 11
Agora Gauss–Seidel: explicação rápida e fórmula.\n
Diferença conceitual importante: em Gauss–Seidel, ao calcular as componentes de x^{(k+1)} eu já uso as componentes mais recentes obtidas na mesma iteração. Isolando as variáveis como antes, as fórmulas (num uso explícito) são as mesmas matematicamente, mas o cálculo usa valores atualizados imediatamente:
Diferenças entre iterações 5 e 4: aproximadamente 0{,}00159,\;0{,}00227,\;0{,}00015. O máximo é \approx0{,}00227<0{,}01, logo o método Gauss–Seidel atinge a tolerância na iteração 5.
Resposta
Jacobi (parada): x\approx2{,}1564430554,\; y\approx-2{,}2994354168,\; z\approx0{,}6614168980 (atingiu \varepsilon=0{,}01 na iteração 8).
Gauss–Seidel (parada): x\approx2{,}1590721715,\; y\approx-2{,}2970113789,\; z\approx0{,}6631445060 (atingiu \varepsilon=0{,}01 na iteração 5).