Resolva o sistema por iteração de Gauss-Jacobi e depois por Gauss-Seidel, \operatorname{com} \varepsilon=0,01 \mathrm{e} aproximação inicial (0,0,0).
\left\{\begin{array}{l} 4 x+y+z=7 \\\ x+5 y+2 z=-8 \\\\ 2 x+y+6 z=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 4x+y+z=7,\\[4pt] x+5y+2z=-8,\\[4pt] 2x+y+6z=6, \end{cases}
e pede que eu resolva por iteração de Gauss–Jacobi e por Gauss–Seidel usando tolerância \varepsilon=0,01 e aproximação inicial (0,0,0).\n
Informações relevantes que eu tenho e que vou usar:
\; - sistema e vetor inicial x^{(0)}=(0,0,0);\n
\; - tolerância \varepsilon=0,01 (vou usar critério de parada \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon, ou seja, a máxima diferença absoluta entre componentes);\n
\; - preciso apresentar iterações até o critério ser satisfeito para cada método e a aproximação final.]

Passo 2

Explico a ideia do método de Gauss–Jacobi (didaticamente): em cada equação isolamos a variável principal (a que tem coeficiente diagonal) e calculamos a nova estimativa dessa variável usando só os valores da iteração anterior. Para o nosso sistema, isolando cada variável temos as fórmulas de iteração de Jacobi:
x^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(7-y^{(k)}-z^{(k)}\bigr),
y^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-x^{(k)}-2z^{(k)}\bigr),
z^{(k+1)}=\frac{1}{6}\bigl(6-2x^{(k)}-y^{(k)}\bigr).
O que cada símbolo significa:
\;x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)} são as aproximações no passo k. Para calcular x^{(k+1)} uso apenas y^{(k)},z^{(k)} (método Jacobi).\n
Critério de parada: computo as diferenças |x^{(k+1)}-x^{(k)}|, |y^{(k+1)}-y^{(k)}|, |z^{(k+1)}-z^{(k)}| e paro quando a maior dessas for menor que 0,01.

Passo 3

Vou começar as iterações de Jacobi com x^{(0)}=0, y^{(0)}=0, z^{(0)}=0.
Iteração 1 ( k=0\to1):
x^{(1)}=\frac{1}{4}(7-0-0)=\frac{7}{4}=1{,}75,
y^{(1)}=\frac{1}{5}(-8-0-0)=-\frac{8}{5}=-1{,}6,
z^{(1)}=\frac{1}{6}(6-0-0)=1.
Diferenças máximas \max\{1{,}75,1{,}6,1\}=1{,}75>0{,}01, não para.

Passo 4

Iteração 2 ( k=1\to2):
x^{(2)}=\frac{1}{4}\bigl(7-(-1{,}6)-1\bigr)=\frac{1}{4}\cdot7{,}6=1{,}9,
y^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-1{,}75-2\cdot1\bigr)=\frac{-11{,}75}{5}=-2{,}35,
z^{(2)}=\frac{1}{6}\bigl(6-2\cdot1{,}75-(-1{,}6)\bigr)=\frac{4{,}1}{6}\approx0{,}6833333.
Diferenças do passo anterior: |x^{(2)}-x^{(1)}|=0{,}15, |y^{(2)}-y^{(1)}|=0{,}75, |z^{(2)}-z^{(1)}|\approx0{,}3167. Máximo =0{,}75>0{,}01.

Passo 5

Iteração 3 ( k=2\to3):
x^{(3)}=\frac{1}{4}\bigl(7-(-2{,}35)-0{,}6833333\bigr)=\frac{8{,}6666667}{4}\approx2{,}1666667,
y^{(3)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-1{,}9-2\cdot0{,}6833333\bigr)=\frac{-11{,}2666666}{5}\approx-2{,}2533333,
z^{(3)}=\frac{1}{6}\bigl(6-2\cdot1{,}9-(-2{,}35)\bigr)=\frac{4{,}55}{6}\approx0{,}7583333.
Diferenças: |x^{(3)}-x^{(2)}|\approx0{,}2667, máxima >0{,}01.

Passo 6

Iteração 4 ( k=3\to4):
x^{(4)}=\frac{1}{4}\bigl(7-(-2{,}2533333)-0{,}7583333\bigr)=\frac{8{,}495}{4}=2{,}12375,
y^{(4)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-2{,}1666667-2\cdot0{,}7583333\bigr)\approx-2{,}3366667,
z^{(4)}=\frac{1}{6}\bigl(6-2\cdot2{,}1666667-(-2{,}2533333)\bigr)\approx0{,}6533333.
Diferenças: maior \approx0{,}105>0{,}01.

Passo 7

Iteração 5 ( k=4\to5):
x^{(5)}=\frac{1}{4}\bigl(7-(-2{,}3366667)-0{,}6533333\bigr)\approx2{,}1708333,
y^{(5)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-2{,}12375-2\cdot0{,}6533333\bigr)\approx-2{,}2860833,
z^{(5)}=\frac{1}{6}\bigl(6-2\cdot2{,}12375-(-2{,}3366667)\bigr)\approx0{,}6815278.
Diferenças: maior \approx0{,}0506>0{,}01.

Passo 8

Iteração 6 ( k=5\to6):
x^{(6)}\approx2{,}1511389,\qquad y^{(6)}\approx-2{,}3067778,\qquad z^{(6)}\approx0{,}6574028.
Diferenças: maior \approx0{,}024125>0{,}01.

Passo 9

Iteração 7 ( k=6\to7):
x^{(7)}\approx2{,}16234375,\qquad y^{(7)}\approx-2{,}29318889,\qquad z^{(7)}\approx0{,}66741667.
Diferenças: maior \approx0{,}01358911>0{,}01.

Passo 10

Iteração 8 ( k=7\to8):
x^{(8)}\approx2{,}1564430554,\qquad y^{(8)}\approx-2{,}2994354168,\qquad z^{(8)}\approx0{,}6614168980.
Diferenças entre iterações 8 e 7: |x^{(8)}-x^{(7)}|\approx0{,}0059007, |y^{(8)}-y^{(7)}|\approx0{,}0062465, |z^{(8)}-z^{(7)}|\approx0{,}0059998. O máximo é \approx0{,}0062465<0{,}01, portanto o critério é satisfeito e paro o método de Jacobi na iteração 8.

Passo 11

Agora Gauss–Seidel: explicação rápida e fórmula.\n
Diferença conceitual importante: em Gauss–Seidel, ao calcular as componentes de x^{(k+1)} eu já uso as componentes mais recentes obtidas na mesma iteração. Isolando as variáveis como antes, as fórmulas (num uso explícito) são as mesmas matematicamente, mas o cálculo usa valores atualizados imediatamente:
x^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(7-y^{(k)}-z^{(k)}\bigr),
y^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-x^{(k+1)}-2z^{(k)}\bigr),
z^{(k+1)}=\frac{1}{6}\bigl(6-2x^{(k+1)}-y^{(k+1)}\bigr).
Ou seja, para y^{(k+1)} uso x^{(k+1)} já calculado, e para z^{(k+1)} uso x^{(k+1)} e y^{(k+1)}.

Passo 12

Vou iterar Gauss–Seidel com x^{(0)}=y^{(0)}=z^{(0)}=0.
Iteração 1 ( k=0\to1):
x^{(1)}=\frac{7}{4}=1{,}75,
y^{(1)}=\frac{1}{5}(-8-1{,}75-0)=-1{,}95,
z^{(1)}=\frac{1}{6}(6-2\cdot1{,}75-(-1{,}95))=\frac{4{,}45}{6}\approx0{,}7416667.

Passo 13

Iteração 2 ( k=1\to2):
x^{(2)}=\frac{1}{4}\bigl(7-(-1{,}95)-0{,}7416667\bigr)\approx2{,}0520833333,
y^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-2{,}0520833333-2\cdot0{,}7416667\bigr)\approx-2{,}3070833333,
z^{(2)}=\frac{1}{6}\bigl(6-2\cdot2{,}0520833333-(-2{,}3070833333)\bigr)\approx0{,}7004861111.
Diferença máxima em relação à iteração anterior >0{,}01, continuo.

Passo 14

Iteração 3 ( k=2\to3):
x^{(3)}\approx2{,}1516493056,\qquad y^{(3)}\approx-2{,}3105243056,\qquad z^{(3)}\approx0{,}6678709491.
Diferença máxima em relação a iteração 2 \approx0{,}0996>0{,}01.

Passo 15

Iteração 4 ( k=3\to4):
x^{(4)}\approx2{,}1606633391,\qquad y^{(4)}\approx-2{,}2992810475,\qquad z^{(4)}\approx0{,}6629923615.
Diferença máxima \approx0{,}0112433>0{,}01, ainda não basta.

Passo 16

Iteração 5 ( k=4\to5):
x^{(5)}\approx2{,}1590721715,\qquad y^{(5)}\approx-2{,}2970113789,\qquad z^{(5)}\approx0{,}6631445060.
Diferenças entre iterações 5 e 4: aproximadamente 0{,}00159,\;0{,}00227,\;0{,}00015. O máximo é \approx0{,}00227<0{,}01, logo o método Gauss–Seidel atinge a tolerância na iteração 5.

Resposta

Jacobi (parada): x\approx2{,}1564430554,\; y\approx-2{,}2994354168,\; z\approx0{,}6614168980 (atingiu \varepsilon=0{,}01 na iteração 8).
Gauss–Seidel (parada): x\approx2{,}1590721715,\; y\approx-2{,}2970113789,\; z\approx0{,}6631445060 (atingiu \varepsilon=0{,}01 na iteração 5).

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