Calcule
usando um polinômio interpolador sobre 3 pontos da tabela abaixo, encontre por Lagrange e outro por Newton.
x
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
11.02
13.46
16.44
20.08
24.53
29.96
36.59
44.70
| x | 2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
|
|
11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
usando um polinômio interpolador sobre 3 pontos da tabela dada e que eu encontre esse polinômio de duas maneiras: por Lagrange e por Newton. Dados relevantes (retirei-os da tabela do enunciado):
Pontos conhecidos (valores da tabela) que podem ser usados para interpolar e o valor a estimar:
Passo 2
Escolha dos 3 pontos a usar. Quando vamos estimar um valor por interpolação polinomial, é melhor usar pontos próximos de
para reduzir o erro. Os pontos da tabela mais próximos de
são
(distâncias
respectivamente). Vou usar esses três pontos:
Passo 3
Primeira técnica: polinômio de Lagrange (explicação teórica).
O polinômio interpolador de grau que passa por
pode ser escrito como
O polinômio interpolador de grau
onde cada polinômio base
(chamado de função de Lagrange) é definido por
Aqui
(é
se
e
caso contrário), garantindo que
. Vou aplicar essa fórmula avaliando
.
Passo 4
Cálculo dos
. Primeiro escrevo as diferenças necessárias:
Agora as diferenças
em
:
Agora cada
:
Para
:
Para
:
Para
:
Verificação rápida:
(bom sinal).
Passo 5
Avaliação do polinômio de Lagrange em
. Uso
Substituindo os valores:
Calculo termo a termo:
Somando:
Portanto, pelo polinômio de Lagrange obtemos a estimativa
.
Passo 6
Segunda técnica: forma de Newton com diferenças divididas (explicação teórica).
O polinômio interpolador em forma de Newton usa diferenças divididas e tem a forma
O polinômio interpolador em forma de Newton usa diferenças divididas e tem a forma
onde
,
e
A vantagem prática é calcular coeficientes incrementalmente e avaliar de forma direta. Vou calcular as diferenças divididas para nossos pontos.
Passo 7
Cálculo das diferenças divididas:
Primeiras diferenças:
Segunda diferença (dividida):
Passo 8
Montagem do polinômio de Newton e avaliação em
. A forma é
Avalio em
:
e
. Então
Calcule os termos:
Somando:
Repare que é o mesmo resultado obtido por Lagrange (como deve ser):
.
Passo 9
Interpretação e qualidade da estimativa. Usei três pontos simétricos em torno de
(escalonamento
entre pontos), o que melhora a precisão local. O valor real
é aproximadamente
(se quiséssemos comparar), então o erro aqui é muito pequeno (aprox.
), o que é ótimo para uma interpolação quadrática com esses dados arredondados.
Resposta
Lagrange:
Newton:
Newton: