Calcule e^{3,1} usando um polinômio interpolador sobre 3 pontos da tabela abaixo, encontre por Lagrange e outro por Newton.
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
\mathrm{e}^{\mathrm{x}} 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \mathrm{e}^{3,1} usando um polinômio interpolador sobre 3 pontos da tabela dada e que eu encontre esse polinômio de duas maneiras: por Lagrange e por Newton. Dados relevantes (retirei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} x & 2,4 & 2,6 & 2,8 & 3,0 & 3,2 & 3,4 & 3,6 & 3,8\\hline \mathrm{e}^{x} & 11,02 & 13,46 & 16,44 & 20,08 & 24,53 & 29,96 & 36,59 & 44,70 \end{array}
Pontos conhecidos (valores da tabela) que podem ser usados para interpolar e o valor a estimar:
\text{queremos } \mathrm{e}^{3,1}\quad\text{(ou seja valor em }x=3,1\text{).}

Passo 2

Escolha dos 3 pontos a usar. Quando vamos estimar um valor por interpolação polinomial, é melhor usar pontos próximos de x para reduzir o erro. Os pontos da tabela mais próximos de x=3,1 são x=2,8,\;3,0,\;3,2 (distâncias 0,3,\;0,1,\;0,1 respectivamente). Vou usar esses três pontos:
x_0=2,8,\; y_0=\mathrm{e}^{2,8}=16,44;
x_1=3,0,\; y_1=\mathrm{e}^{3,0}=20,08;
x_2=3,2,\; y_2=\mathrm{e}^{3,2}=24,53.

Passo 3

Primeira técnica: polinômio de Lagrange (explicação teórica).
O polinômio interpolador de grau \le 2 que passa por (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2) pode ser escrito como
P(x)=y_0 L_0(x)+y_1 L_1(x)+y_2 L_2(x),
onde cada polinômio base L_i(x) (chamado de função de Lagrange) é definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui L_i(x_j)=\delta_{ij} 1 se i=j e 0 caso contrário), garantindo que P(x_i)=y_i. Vou aplicar essa fórmula avaliando P(3,1).

Passo 4

Cálculo dos L_i(3,1). Primeiro escrevo as diferenças necessárias:
x_0-x_1=2,8-3,0=-0,2,\quad x_0-x_2=2,8-3,2=-0,4,
x_1-x_0=0,2,\quad x_1-x_2=3,0-3,2=-0,2,
x_2-x_0=0,4,\quad x_2-x_1=0,2.
Agora as diferenças x- x_j em x=3,1:
3,1-x_0=3,1-2,8=0,3,\quad 3,1-x_1=3,1-3,0=0,1,\quad 3,1-x_2=3,1-3,2=-0,1.
Agora cada L_i(3,1):
Para i=0:
L_0(3,1)=\frac{(3,1-x_1)(3,1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} =\frac{(0,1)(-0,1)}{(-0,2)(-0,4)} =\frac{-0,01}{0,08}=-0,125.
Para i=1:
L_1(3,1)=\frac{(3,1-x_0)(3,1-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} =\frac{(0,3)(-0,1)}{(0,2)(-0,2)} =\frac{-0,03}{-0,04}=0,75.
Para i=2:
L_2(3,1)=\frac{(3,1-x_0)(3,1-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} =\frac{(0,3)(0,1)}{(0,4)(0,2)} =\frac{0,03}{0,08}=0,375.
Verificação rápida: L_0+L_1+L_2=-0,125+0,75+0,375=1 (bom sinal).

Passo 5

Avaliação do polinômio de Lagrange em x=3,1. Uso
P(3,1)=y_0 L_0(3,1)+y_1 L_1(3,1)+y_2 L_2(3,1).
Substituindo os valores:
P(3,1)=16,44\cdot(-0,125)+20,08\cdot 0,75+24,53\cdot 0,375.
Calculo termo a termo:
16,44\cdot(-0,125)=-2,055,
20,08\cdot 0,75=15,06,
24,53\cdot 0,375=9,19875.
Somando:
P(3,1)=-2,055+15,06+9,19875=22,20375.
Portanto, pelo polinômio de Lagrange obtemos a estimativa P(3,1)=22,20375.

Passo 6

Segunda técnica: forma de Newton com diferenças divididas (explicação teórica).
O polinômio interpolador em forma de Newton usa diferenças divididas e tem a forma
P(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1),
onde f[x_i]=y_i, f[x_i,x_j]=\dfrac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i} e
f[x_0,x_1,x_2]=\dfrac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
A vantagem prática é calcular coeficientes incrementalmente e avaliar de forma direta. Vou calcular as diferenças divididas para nossos pontos.

Passo 7

Cálculo das diferenças divididas:
Primeiras diferenças:
f[x_0,x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{20,08-16,44}{3,0-2,8}=\frac{3,64}{0,2}=18,2.
f[x_1,x_2]=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{24,53-20,08}{3,2-3,0}=\frac{4,45}{0,2}=22,25.
Segunda diferença (dividida):
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{22,25-18,2}{3,2-2,8}=\frac{4,05}{0,4}=10,125.

Passo 8

Montagem do polinômio de Newton e avaliação em x=3,1. A forma é
P(x)=16,44+18,2\,(x-2,8)+10,125\,(x-2,8)(x-3,0).
Avalio em x=3,1: x-2,8=0,3 e x-3,0=0,1. Então
P(3,1)=16,44+18,2\cdot 0,3+10,125\cdot 0,3\cdot 0,1.
Calcule os termos:
18,2\cdot 0,3=5,46,
10,125\cdot 0,3\cdot 0,1=10,125\cdot 0,03=0,30375.
Somando:
P(3,1)=16,44+5,46+0,30375=22,20375.
Repare que é o mesmo resultado obtido por Lagrange (como deve ser): 22,20375.

Passo 9

Interpretação e qualidade da estimativa. Usei três pontos simétricos em torno de 3,1 (escalonamento 0,2 entre pontos), o que melhora a precisão local. O valor real \mathrm{e}^{3,1} é aproximadamente 22,19795 (se quiséssemos comparar), então o erro aqui é muito pequeno (aprox. +0,0058), o que é ótimo para uma interpolação quadrática com esses dados arredondados.

Resposta

Lagrange: 22,20375
Newton: 22,20375

Exercícios relacionados