Para o sistema não linear a seguir, queremos encontrar a solução de (\sqrt{2}, \sqrt{2}), portanto faça 4 iterações por Newton e 4 iterações por Newton modificado e compare os erros obtidos.
e pede para aproximar a solução (\sqrt{2},\sqrt{2}) usando 4 iterações do método de Newton e 4 iterações do Newton modificado, e comparar os erros obtidos. Informação relevante fornecida pelo enunciado que vou usar explicitamente:
\text{o ponto exato: }s=(\sqrt{2},\sqrt{2}).
O enunciado não dá um palpite inicial explícito; vou adotar o palpite simétrico e natural
(x_{0},y_{0})=(2,2),
porque está razoavelmente próximo de (\sqrt{2},\sqrt{2}) e preserva a simetria y=x que simplifica as contas. Para comparar erros vou usar a norma euclidiana
\|e^{(k)}\|=\|(x^{(k)},y^{(k)})-s\|_2.]
Passo 2
Vou explicar o método de Newton para sistemas (passo-a-passo, estilo amigo):
Explicação intuitiva: linearizamos o sistema em torno do ponto atual e movemo-nos até a raiz da aproximação linear.
Observação útil para este problema: como a segunda equação é x-y=0, se o palpite inicial está na diagonal y=x (como o escolhido (2,2)), todas as iterações de Newton e do Newton modificado vão permanecer na diagonal y=x. Então podemos reduzir o sistema a uma única equação escalar ao longo da diagonal:
\text{se }y=x\text{ então }f_{1}=2x^{2}-4,\quad f_{2}=0.ã
Isso simplifica muito as contas: a componente y acompanhará x.]
Passo 3
Aplicando a definição: primeira iteração de Newton a partir de (x_{0},y_{0})=(2,2).
Comentário rápido (empático): já dá para ver a maravilha do Newton: os erros caem muito rápido (convergência quadrática, por isso do 10^{-6} para 10^{-12} em só uma iteração).
Passo 7
Agora explico o Newton modificado (a versão que vou usar): fixamos a jacobiana no palpite inicial e reutilizamos a mesma inversa em todas as iterações. Procedimento:
Calcule J(2,2) uma vez e sua inversa J(2,2)^{-1}.
Já calculamos
Logo o método modificado na diagonal reduz-se ao iteração escalar
x_{k+1}=x_{k}-\frac{x_{k}^{2}-2}{4}.
(Compare com o Newton exato escalar, que atualiza por \dfrac{x_{k}^{2}+2}{2x_{k}}. O modificado usa uma correção linearizada fixa e por isso converge mais devagar.)]
Passo 8
Aplicando o Newton modificado a partir de x_{0}=2:
Iteração 1 (já coincidente com Newton porque usamos a mesma jacobiana no ponto inicial):
Erro escalar x_{4}-\sqrt{2}\approx 0,0019467826567348886 e norma
\|(x_{4},y_{4})-s\|_2\approx 0,002752776237.
Passo 12
Comparação qualitativa e numérica (resumindo): Newton (com jacobiana atualizada a cada iteração) converge muito mais rápido — aqui vemos erros caindo dramaticamente (convergência quadrática). O Newton modificado converge também, mas de forma muito mais lenta (convergência aproximadamente linear nesta configuração), pois reutiliza a mesma jacobiana do início.
Resposta
Newton (norma do erro após cada iteração): \|e^{(1)}\|\approx 0,12132034355964283\n \|e^{(2)}\|\approx 0,003469446951953614\n \|e^{(3)}\|\approx 3,0\times 10^{-6}\n \|e^{(4)}\|\approx 2,2545\times 10^{-12}\n
Newton modificado (norma do erro após cada iteração): \|e^{(1)}\|\approx 0,12132034355964283\n \|e^{(2)}\|\approx 0,0329372492331632\n \|e^{(3)}\|\approx 0,009454996403\n \|e^{(4)}\|\approx 0,002752776237