Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l} X+Y=A+B \\\ X-Y=2 A-B \end{array}\right.
sendo A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}3 & -2\end{array}\right] e B^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}-1 & 5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\left\{\begin{array}{l} X+Y=A+B \\[4pt] X-Y=2A-B \end{array}\right.
e informa os vetores (peguei estes valores do enunciado)
A'=\begin{bmatrix}3 & -2\end{bmatrix},\qquad B'=\begin{bmatrix}-1 & 5\end{bmatrix}.
Vou interpretar A e B como vetores coluna com as mesmas componentes dadas (ou seja, A=\begin{bmatrix}3\\\ -2\end{bmatrix} e B=\begin{bmatrix}-1\\\ 5\end{bmatrix}), e X,Y são vetores desconhecidos de duas componentes. O objetivo é encontrar explicitamente X e Y.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre operações com vetores (útil para a prova):
  • Soma e subtração de vetores é feita componente a componente.
  • Multiplicação por escalar: se \lambda é um número e V é um vetor, então \lambda V multiplica cada componente de V por \lambda.
    Essas operações permitem manipular o sistema da mesma forma que um sistema linear escalar: somar equações, subtrair, multiplicar por escalares, etc.

Passo 3

Isolar X somando as duas equações do sistema. Somando membro a membro:
(X+Y)+(X-Y)=(A+B)+(2A-B).
No lado esquerdo as parcelas +Y e -Y cancelam, ficando 2X. No lado direito:
(A+B)+(2A-B)=A+B+2A-B=3A.
Logo obtemos
2X=3A.
Dividindo por 2 (isto é, multiplicando por \tfrac{1}{2}) resulta
X=\frac{3}{2}A.
Explicação: multiplicar A por \tfrac{3}{2} significa multiplicar cada componente de A por \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Isolar Y subtraindo a segunda equação da primeira. Fazendo (X+Y)-(X-Y) no lado esquerdo e (A+B)-(2A-B) no direito:
(X+Y)-(X-Y)=(A+B)-(2A-B).
No lado esquerdo X cancela e fica 2Y. No direito:
(A+B)-(2A-B)=A+B-2A+B=-A+2B.
Assim
2Y=-A+2B.
Dividindo por 2 obtemos
Y=-\frac{1}{2}A + B.
Interpretação: primeiro multiplica-se A por -\tfrac{1}{2} e depois soma-se o vetor B.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos de A e B. Tomando
A=\begin{bmatrix}3\\\ -2\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}-1\\\ 5\end{bmatrix},
temos
X=\frac{3}{2}A=\frac{3}{2}\begin{bmatrix}3\\\ -2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\cdot 3\\[4pt]\frac{3}{2}\cdot(-2)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\\[4pt]-3\end{bmatrix}.]

Passo 6

Calculando Y:
Y=-\frac{1}{2}A+B=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}3\\\ -2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\\ 5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{3}{2}\\[4pt]1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\\ 5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{3}{2}-1\\[4pt]1+5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{5}{2}\\[4pt]6\end{bmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (sempre faça na prova para garantir que não houve erro):
  • X+Y=\begin{bmatrix}\tfrac{9}{2}\\\ -3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-\tfrac{5}{2}\\\ 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\\ 3\end{bmatrix}.
  • A+B=\begin{bmatrix}3\\\ -2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\\ 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\\ 3\end{bmatrix}.
    Logo X+Y=A+B confere.
  • X-Y=\begin{bmatrix}\tfrac{9}{2}\\\ -3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-\tfrac{5}{2}\\\ 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\\ -9\end{bmatrix}.
  • 2A-B=2\begin{bmatrix}3\\\ -2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1\\\ 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\\ -4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1\\\ 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\\ -9\end{bmatrix}.
    Logo X-Y=2A-B também confere. Tudo correto!

Resposta

\displaystyle X=\begin{bmatrix}\tfrac{9}{2}\\[4pt]-3\end{bmatrix}
\displaystyle Y=\begin{bmatrix}-\tfrac{5}{2}\\[4pt]6\end{bmatrix}]

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