Determine a matriz A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 2} definida por
\begin{cases}a_{i j}=\frac{i}{j}, & \text { se } i<j \\\ a_{i j}=(-2)^{i-j}, & \text { se } i=j \\\ a_{i j}=-5(i+j), & \text { se } i>j\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz A=\left[a_{ij}\right]_{3\times 2}\) cujos elementos são dados por \[\begin{cases} a_{ij}=\dfrac{i}{j}, & \text{se } i<j,\\[6pt] a_{ij}=(-2)^{\,i-j}, & \text{se } i=j,\\[6pt] a_{ij}=-5(i+j), & \text{se } i>j. \end{cases}
As informações relevantes que temos são:
  • A matriz tem 3\] linhas e \(2 colunas, logo i\in\{1,2,3\} e j\in\{1,2\}.
  • Para cada par de índices (i,j) devemos escolher qual das três fórmulas acima se aplica, conforme a relação entre i e j.
  • A tarefa é calcular todos os 3\times 2=6 elementos a_{ij} e escrever a matriz.]

Passo 2

Regra prática para cada posição (i,j):
  • Se i<j uso a_{ij}=\dfrac{i}{j}.
  • Se i=j uso a_{ij}=(-2)^{\,i-j}.
  • Se i>j uso a_{ij}=-5(i+j).
Vamos percorrer as posições linha a linha: (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2). Em cada uma verifico se i<j, i=j ou i>j e calculo.

Passo 3

Cálculo de a_{11} (posição (i,j)=(1,1)):
  • Aqui i=j porque 1=1, então aplica-se a_{11}=(-2)^{\,1-1}=(-2)^{0}.
  • Lembrete rápido: qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1. Logo (-2)^{0}=1.
    Portanto a_{11}=1.

Passo 4

Cálculo de a_{12} (posição (i,j)=(1,2)):
  • Aqui i<j porque 1<2, então a_{12}=\dfrac{i}{j}=\dfrac{1}{2}.
    Portanto a_{12}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo de a_{21} e a_{22}:
  • Para (i,j)=(2,1): i>j porque 2>1. Aplica-se a_{21}=-5(i+j)=-5(2+1)=-5\cdot 3=-15. Então a_{21}=-15.
  • Para (i,j)=(2,2): i=j porque 2=2. Aplica-se a_{22}=(-2)^{\,2-2}=(-2)^{0}=1. Então a_{22}=1.

Passo 6

Cálculo de a_{31} e a_{32}:
  • Para (i,j)=(3,1): i>j porque 3>1. Então a_{31}=-5(3+1)=-5\cdot 4=-20. Logo a_{31}=-20.
  • Para (i,j)=(3,2): i>j porque 3>2. Então a_{32}=-5(3+2)=-5\cdot 5=-25. Logo a_{32}=-25.

Passo 7

Agora temos todos os elementos calculados. Em forma de matriz (linhas por linhas):
  • Primeira linha: a_{11}=1, a_{12}=\dfrac{1}{2}.
  • Segunda linha: a_{21}=-15, a_{22}=1.
  • Terceira linha: a_{31}=-20, a_{32}=-25.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} \\\\ -15 & 1 \\\\ -20 & -25 \end{pmatrix}

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