Sejam
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -4 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 5 & 0 \\\\ -6 & 7 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\\\ 2 & 6 & -5 \end{array}\right], \\\ D=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{cccc} 5 & 4 & 0 & -1 \\\\ 6 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] \end{gathered}
para os exercícios 16, 17, 18 e 19.
Determine:
-\frac{1}{2} A(-3 B);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
-\tfrac{1}{2}\,A(-3B).
As matrizes fornecidas (peguei do enunciado) são:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] -6 & 7\end{pmatrix}.
O que preciso entregar é a matriz resultante da operação indicada.]

Passo 2

Regra útil (propriedade da multiplicação por escalar): escalares multiplicam-se normalmente e podem ser agrupados antes de multiplicar pelas matrizes. Em símbolos:
\big(\alpha A\big)\big(\beta B\big)= (\alpha\beta)\,(A B)
para quaisquer escalares \alpha,\beta e matrizes compatíveis A,B. Vou usar isso para simplificar o escalar em frente do produto.

Passo 3

Multiplico os escalares:
-\tfrac{1}{2}\times(-3)=\tfrac{3}{2}.
Portanto a expressão original equivale a
\tfrac{3}{2}\,A B.
Agora calculo primeiro A B e depois multiplico por \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Recordando a definição de produto de matrizes 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então
AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\[4pt] a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.
Vou aplicar isso com os elementos de A e B.]

Passo 5

Calculo cada entrada de AB:
Topo-esquerda:
(AB)_{11}=1\cdot5 + 2\cdot(-6)=5-12=-7.
Topo-direita:
(AB)_{12}=1\cdot0 + 2\cdot7=0+14=14.
Inferior-esquerda:
(AB)_{21}=3\cdot5 + (-4)\cdot(-6)=15+24=39.
Inferior-direita:
(AB)_{22}=3\cdot0 + (-4)\cdot7=0-28=-28.
Logo
AB=\begin{pmatrix}-7 & 14\\[4pt]39 & -28\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora multiplico AB pelo escalar \tfrac{3}{2}. Multiplicação por escalar em matrizes é feita entrada a entrada:
\tfrac{3}{2}\,AB=\begin{pmatrix} \tfrac{3}{2}\cdot(-7) & \tfrac{3}{2}\cdot14\\[6pt] \tfrac{3}{2}\cdot39 & \tfrac{3}{2}\cdot(-28) \end{pmatrix}.
Faço as contas:
\tfrac{3}{2}\cdot(-7)=-\tfrac{21}{2},\qquad \tfrac{3}{2}\cdot14=21,
\tfrac{3}{2}\cdot39=\tfrac{117}{2},\qquad \tfrac{3}{2}\cdot(-28)=-42.]

Resposta

\begin{pmatrix} -\tfrac{21}{2} & 21\\[6pt] \tfrac{117}{2} & -42 \end{pmatrix}]

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