Todas as expressões envolvem \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}, então é necessário ter x\neq 0,\;y\neq 0,\;z\neq 0 para que o sistema faça sentido.
A tarefa é encontrar os valores de x,\;y,\;z que satisfazem simultaneamente as três equações.]
Passo 2
Um truque natural quando aparecem \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}\) é fazer a mudança de variáveis
\[a=\frac{1}{x},\qquad b=\frac{1}{y},\qquad c=\frac{1}{z}.
Isso transforma o sistema original em um sistema linear em a,b,c. Substituindo, obtemos
Explicação didática: essa substituição é válida porque exige apenas que x,y,z\] sejam diferentes de zero (condição já necessária pelas frações). Resolver primeiro o sistema linear em \(a,b,c é mais simples; depois retornamos a x,y,z invertendo as relações.]
Passo 3
Vamos resolver o sistema linear por eliminação — a ideia é somar/subtrair equações para eliminar uma incógnita e reduzir o sistema.
Verificação rápida (substituir na primeira equação original):
\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z} = a + 2b - c = 2 + 2\cdot 3 - (-1) = 2 + 6 +1 =9,
confere. As outras equações também serão satisfeitas porque resolvemos o sistema equivalente em a,b,c.
Pequena nota didática final: a estratégia de substituir as frações por novas variáveis para transformar em um sistema linear é muito prática — elimina trabalho com frações complicadas e usa ferramentas básicas de álgebra linear (eliminação). Sempre verifique que a substituição é válida (aqui: x,y,z\neq 0).
Passo 5
Recapitulando de forma direta: encontramos a,b,c resolvendo um sistema linear por eliminação e depois invertendo as relações para obter x,y,z. A solução é única e não viola a condição x,y,z\neq 0.