Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-y \\\ \dot{y}=x+y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} \dot{x}=x-y,\\\ \dot{y}=x+y, \end{cases}
e pede a solução geral (x(t),y(t)). Vamos eliminar y para obter uma equação de segunda ordem em x.

Passo 2

Diferenciando \dot{x}=x-y em relação a t temos
\ddot{x}=\dot{x}-\dot{y}.
Como \dot{y}=x+y, substituímos e obtemos
\ddot{x}=\dot{x}-(x+y).
E de \dot{x}=x-y vem y=x-\dot{x}. Então
\ddot{x}=\dot{x}-\bigl(x+(x-\dot{x})\bigr) =\dot{x}-2x+\dot{x} =2\dot{x}-2x.
Reorganizando, surge a equação
\ddot{x}-2\dot{x}+2x=0.

Passo 3

A equação característica é
r^2-2r+2=0,
cuja solução é
r=1\pm i.
Logo a solução geral para x(t) é
x(t)=e^t\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 4

Para achar y(t), usamos y=x-\dot{x}. Calculando
\dot{x}(t) =\frac{d}{dt}\bigl[e^t(C_1\cos t+C_2\sin t)\bigr] =e^t\bigl(C_1(\cos t-\sin t)+C_2(\sin t+\cos t)\bigr),
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y(t) =x(t)-\dot{x}(t) =e^t\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr) -e^t\bigl(C_1(\cos t-\sin t)+C_2(\sin t+\cos t)\bigr) =e^t\bigl(C_1\sin t - C_2\cos t\bigr).

Passo 5

Portanto, a solução geral do sistema é
x(t)=e^t\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr), \quad y(t)=e^t\bigl(C_1\sin t - C_2\cos t\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t)=e^t\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr), \quad y(t)=e^t\bigl(C_1\sin t - C_2\cos t\bigr).

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