Calcule f^{\prime}(0) sendo f a função dada por:
f(x)=\left(x^{3}+2 x\right) \cdot \cos (\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(0) sendo
f(x) = \bigl(x^{3}+2x\bigr)\,\cos(x).
O conteúdo principal é derivação de funções por meio da regra do produto, além de conhecermos as derivadas elementares de x^n e de \cos(x).

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Escolhemos
u(x) = x^{3}+2x, \quad v(x) = \cos(x).
Então
u'(x) = 3x^{2}+2, \quad v'(x) = -\sin(x).
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f'(x) = \bigl(x^{3}+2x\bigr)' \cos(x) + \bigl(x^{3}+2x\bigr)\bigl(\cos(x)\bigr)' = (3x^{2}+2)\cos(x) - (x^{3}+2x)\sin(x).

Passo 4

Agora basta avaliar em x=0. Temos
3\cdot0^{2}+2 = 2, \quad \cos(0) = 1, \quad 0^{3}+2\cdot0 = 0, \quad \sin(0) = 0.
Substituindo em
f'(0) = (3\cdot0^{2}+2)\cos(0) - (0^{3}+2\cdot0)\sin(0)
vem
f'(0) = 2\cdot1 - 0\cdot0 = 2.

Resposta

2

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