Resolva o sistema linear abaixo por escalonamento e o classifique.
\left\{\begin{array}{l} x-y+2 z=4 \\ 2 x+y+z=5 \\ -x-5 y+8 z=7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x - y + 2z = 4,\\\\ 2x + y + z = 5,\\\\ -\,x - 5y + 8z = 7, \end{cases}
com três equações e três incógnitas (x,y,z), e pede que o resolvamos por escalonamento e então classifiquemos o sistema. Vamos escrever a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4\\\\ 2 & 1 & 1 & 5\\\\ -1 & -5 & 8 & 7 \end{array}\right).
Para eliminar abaixo de a_{11}=1, fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
Isso produz
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4\\\\ 0 & 3 & -3 & -3\\\\ 0 & -6 & 10 & 11 \end{array}\right).

Passo 3

Agora eliminamos o elemento a_{32}=-6 usando R_2:
R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2,
que dá
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4\\\\ 0 & 3 & -3 & -3\\\\ 0 & 0 & 4 & 5 \end{array}\right).
Da terceira linha obtemos
4z = 5 \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{5}{4}.

Passo 4

Usando a segunda linha 0\cdot x + 3y - 3z = -3, substituímos z:
3y - 3\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr) = -3 \quad\Longrightarrow\quad 3y = -3 + \tfrac{15}{4} = -\tfrac{12}{4} + \tfrac{15}{4} = \tfrac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Finalmente, da primeira linha x - y + 2z = 4, inserimos y e z:
x - \tfrac{1}{4} + 2\cdot\tfrac{5}{4} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x - \tfrac{1}{4} + \tfrac{10}{4} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x + \tfrac{9}{4} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 4 - \tfrac{9}{4} = \tfrac{16}{4} - \tfrac{9}{4} = \tfrac{7}{4}.

Passo 6

Como chegamos a uma única solução e a matriz de coeficientes tem posto 3 (mesmo posto da matriz aumentada) em um espaço de 3 incógnitas, o sistema é possível e determinado.

Resposta

A solução é
(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{7}{4},\,\tfrac{1}{4},\,\tfrac{5}{4}\Bigr),
e o sistema é possível e determinado.

Exercícios relacionados