Resolva o sistema linear abaixo, usando o método da eliminação da Gauss. Se necessário, use o pivoteamento parcial.
\left\{\begin{array}{c} 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=3 \\\\ 3 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}-x_{2}+5 x_{3}=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=3,\\\\ 3x_{1}+3x_{2}+x_{3}=7,\\\ x_{1}-x_{2}+5x_{3}=5 \end{cases}
usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Vamos montar a matriz aumentada e triangularizá-la, trocando linhas sempre que necessário para usar o maior pivô.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos pivoteamento na coluna 1: encontramos maiores valores absolutos em \{2,3,1\}, o pivô ideal é 3 (linha 2 original), logo trocamos linha 1 com linha 2:
\begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 & \vline & 7\\\\ 2 & 2 & -1 & \vline & 3\\\\ 1 & -1 & 5 & \vline & 5 \end{pmatrix}

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô 3 na coluna 1:
  • Para zerar o elemento em (2,1), fazemos R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{2}{3}R_1.
  • Para zerar o elemento em (3,1), fazemos R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{3}R_1.
    Após as operações,
\begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 & \vline & 7\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{5}{3} & \vline & -\tfrac{5}{3}\\\\ 0 & -2 & \tfrac{14}{3} & \vline & \tfrac{8}{3} \end{pmatrix}

Passo 4

Na segunda coluna só temos pivô possível na linha 3 (valor -2), enquanto linha 2 tem zero. Fazemos a troca R_2\leftrightarrow R_3:
\begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 & \vline & 7\\\\ 0 & -2 & \tfrac{14}{3} & \vline & \tfrac{8}{3}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{5}{3} & \vline & -\tfrac{5}{3} \end{pmatrix}
Agora a matriz está triangular superior.

Passo 5

A partir da matriz triangular, escrevemos o sistema equivalente:
\begin{cases} 3x_{1}+3x_{2}+x_{3}=7,\\\\ -2x_{2}+\tfrac{14}{3}x_{3}=\tfrac{8}{3},\\\\ -\tfrac{5}{3}x_{3}=-\tfrac{5}{3}. \end{cases}
Resolvemos por substituição a partir de baixo.

Passo 6

Da terceira equação:
-\tfrac{5}{3}x_{3}=-\tfrac{5}{3} \quad\implies\quad x_{3}=1.
Substituindo em -2x_{2}+\tfrac{14}{3}\cdot1=\tfrac{8}{3}:
-2x_{2}+\tfrac{14}{3}=\tfrac{8}{3} \quad\implies\quad -2x_{2}=-2 \quad\implies\quad x_{2}=1.
Finalmente, na primeira equação:
3x_{1}+3\cdot1+1\cdot1=7 \quad\implies\quad 3x_{1}+4=7 \quad\implies\quad x_{1}=1.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,1)

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