Se ocorrer um elemento nulo na diagonal de uma matriz A:
triangular superior, o que se pode afirmar sobre a existência e unicidade da solução do sistema
?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
triangular superior e que em alguma posição
da diagonal aparece
. Queremos analisar quando o sistema
é (i) solucionável e (ii) se a solução, quando existir, é única. O método natural aqui é a substituição retroativa, que depende de dividir por cada
.
Passo 2
Para resolver
por substituição retroativa, escrevemos as equações de baixo para cima:
e assim por diante até
Em cada passo precisamos dividir por
para obter
Passo 3
Se em algum índice
tivermos
, ao chegar na equação
ficamos com
Dessa forma não podemos isolar
pela divisão usual.
Passo 4
Duas situações podem ocorrer nesse passo:
- Se
, então obtemos
o que é uma contradição. Logo, não há solução.
- Se
, então a equação se reduz a
e
fica livre. Isso gera infinitas soluções, pois podemos atribuir qualquer valor a
e continuar a resolver para os índices acima de
.
Passo 5
A única forma de garantir divisão em todas as etapas e, portanto, unicidade da solução é ter
para todo
. Se ao menos um
, a matriz
é singular
e não há como obter uma solução única.
Resposta
Se algum elemento da diagonal de
for zero, então
é singular e o sistema
ou não admite solução (se o termo independente não for compatível) ou admite infinitas soluções (se for compatível). Nunca há solução única nesse caso.