Se ocorrer um elemento nulo na diagonal de uma matriz A: \mathrm{n} \times \mathrm{n} triangular superior, o que se pode afirmar sobre a existência e unicidade da solução do sistema A x=b ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} triangular superior e que em alguma posição k da diagonal aparece a_{kk}=0. Queremos analisar quando o sistema
A x = b
é (i) solucionável e (ii) se a solução, quando existir, é única. O método natural aqui é a substituição retroativa, que depende de dividir por cada a_{ii}.

Passo 2

Para resolver A x=b por substituição retroativa, escrevemos as equações de baixo para cima:
a_{nn}\,x_n = b_n,
a_{n-1,n-1}\,x_{n-1} + a_{n-1,n}x_n = b_{n-1},
e assim por diante até
a_{11}\,x_1 + \sum_{j=2}^n a_{1j}x_j = b_1.
Em cada passo precisamos dividir por a_{ii} para obter
x_i = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j=i+1}^n a_{ij}\,x_j\Bigr).

Passo 3

Se em algum índice k tivermos a_{kk}=0, ao chegar na equação
a_{kk}\,x_k + \sum_{j=k+1}^n a_{kj}x_j = b_k
ficamos com
0\cdot x_k = b_k - \sum_{j=k+1}^n a_{kj}\,x_j.
Dessa forma não podemos isolar x_k pela divisão usual.

Passo 4

Duas situações podem ocorrer nesse passo:
  • Se \displaystyle b_k - \sum_{j=k+1}^n a_{kj}x_j \neq 0, então obtemos
0 = \text{(número não nulo)},úã
o que é uma contradição. Logo, não há solução.
  • Se \displaystyle b_k - \sum_{j=k+1}^n a_{kj}x_j = 0, então a equação se reduz a
0\cdot x_k = 0,
e x_k fica livre. Isso gera infinitas soluções, pois podemos atribuir qualquer valor a x_k e continuar a resolver para os índices acima de k.

Passo 5

A única forma de garantir divisão em todas as etapas e, portanto, unicidade da solução é ter a_{ii}\neq0 para todo i=1,\dots,n. Se ao menos um a_{kk}=0, a matriz A é singular \det A=0 e não há como obter uma solução única.

Resposta

Se algum elemento da diagonal de A for zero, então A é singular e o sistema Ax=b ou não admite solução (se o termo independente não for compatível) ou admite infinitas soluções (se for compatível). Nunca há solução única nesse caso.

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