Faça o que se pede em cada item abaixo:
(a) Para cada
natural, defina
. Verifique que
.
(b) Mostre que
é irracional. Dica: suponha, com o propósito de contradição, que
seja racional!
(a) Para cada
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define para cada
a soma parcial
e pede em (a) mostrar que
usando a série de Taylor de
. Em (b) devemos deduzir que
é irracional supondo, por contradição, que
fosse racional.
Passo 2
Definimos o resto da série após
termos:
Fatorando
, obtemos
Passo 3
Cada termo dentro dos parênteses é menor ou igual a
para
. Logo,
Assim
Como também
, multiplicando por
vem
ou seja
que era o pedido em (a).
Passo 4
Para (b), suponha que
seja racional com
. Escolha
.
- Note que
é inteiro, pois cada termo com torna-se inteiro ao multiplicar por . - Também
é inteiro porque .
Logo
é a diferença de dois inteiros, então inteiro. Mas pelo item (a) ele satisfaz
isto é, um inteiro estritamente entre
e
, o que é impossível. Concluímos que
não pode ser racional.
Resposta
(a) Para todo
vale
(b) Da contradição acima segue que
é irracional.