Faça o que se pede em cada item abaixo:
(a) Para cada n natural, defina S_{n}:=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{n!}. Verifique que 0<n!\left(e-s_{n}\right)<\frac{1}{n}.
(b) Mostre que e é irracional. Dica: suponha, com o propósito de contradição, que e seja racional!

Passo 1

O enunciado define para cada n\in\mathbb{N} a soma parcial
S_{n} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!}
e pede em (a) mostrar que
0 < n!\bigl(e - S_{n}\bigr) < \frac{1}{n},
usando a série de Taylor de e. Em (b) devemos deduzir que e é irracional supondo, por contradição, que e fosse racional.

Passo 2

Definimos o resto da série após n termos:
R_{n} \;=\; e - S_{n} \;=\;\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} \;=\;\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \cdots.
Fatorando \frac{1}{(n+1)!}, obtemos
R_{n} =\frac{1}{(n+1)!}\Bigl(1+\tfrac{1}{n+2}+\tfrac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots\Bigr).

Passo 3

Cada termo dentro dos parênteses é menor ou igual a \frac{1}{(n+1)^{j}} para j\ge0. Logo,
1+\tfrac{1}{n+2}+\tfrac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots \;<\;1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots =\frac{1}{1-\tfrac{1}{n+1}} =\frac{n+1}{n}.
Assim
R_{n} <\frac{1}{(n+1)!}\,\frac{n+1}{n} =\frac{1}{n!\,n}.
Como também R_{n}>0, multiplicando por n! vem
0 < n!\,R_{n} < \frac{1}{n},
ou seja
0 < n!\bigl(e - S_{n}\bigr) < \frac{1}{n},
que era o pedido em (a).

Passo 4

Para (b), suponha que e=\tfrac{p}{q} seja racional com p,q\in\mathbb{N}. Escolha n\ge q.
  1. Note que n!S_{n} é inteiro, pois cada termo \tfrac{1}{k!} com k\le n torna-se inteiro ao multiplicar por n!.
  2. Também n!e = n!\tfrac{p}{q} é inteiro porque q\mid n!.
    Logo
n!\bigl(e - S_{n}\bigr) =\bigl(n!e\bigr)-\bigl(n!S_{n}\bigr)
é a diferença de dois inteiros, então inteiro. Mas pelo item (a) ele satisfaz
0 < n!\bigl(e - S_{n}\bigr) < \frac{1}{n} \le 1,
isto é, um inteiro estritamente entre 0 e 1, o que é impossível. Concluímos que e não pode ser racional.

Resposta

(a) Para todo n\in\mathbb{N} vale
0 < n!\bigl(e - S_{n}\bigr) < \frac{1}{n}.
(b) Da contradição acima segue que e é irracional.

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