O enunciado dá o sistema linear e pede que o resolvamos pelo método de Gauss–Seidel com a aproximação inicial e a tolerância fornecidas. Dados relevantes:
As perguntas implícitas são: (1) aplicar o método de Gauss–Seidel a partir de x^{(0)} e (2) parar quando o critério com \varepsilon for satisfeito, retornando a aproximação final.]
Passo 2
Vou deduzir as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel isolando cada incógnita em função das outras (isso é o que se faz na prova):
No método de Gauss–Seidel, em cada iteração usamos as componentes mais recentes assim que são obtidas: ao calcular x_{2}^{(k+1)} usamos x_{1}^{(k+1)} já calculado nesta mesma iteração, e ao calcular x_{3}^{(k+1)} usamos x_{1}^{(k+1)} e x_{2}^{(k+1)}.
Passo 3
Antes de iterar, verificamos condição de convergência padrão: diagonal dominante por linhas em módulo (isso garante convergência do Gauss–Seidel). Os módulos dos termos diagonais e somas das outras colunas são:
Como cada linha é estritamente dominante ou dominante suficiente, o método deve convergir para a solução única. Isso nos dá segurança para aplicar Gauss–Seidel.]
Passo 4
Escolho o critério de parada clássico usado em provas: parar quando a norma do máximo componente da diferença entre iterações sucessivas (norma infinito) ficar abaixo de \varepsilon. Ou seja, parar quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty} < \varepsilon.
Aqui \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|. Esse critério é simples de usar sem calculadora e é admissível na maioria das provas.
Passo 5
Agora faço as iterações começando em x^{(0)}=\bigl(-2,\,1,\,0\bigr)^{T}.
Como a norma infinito da diferença entre iterações consecutivas ficou menor que \varepsilon, o critério de parada é satisfeito e podemos aceitar x^{(3)} como aproximação final.]
Resposta
x \approx \begin{pmatrix}-0{,}9153086420 \\[2pt] 1{,}3191646 \\[2pt] -0{,}7448244\end{pmatrix}]