Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Seidel com x^{(0)}=(-2,1,0)^{T} e \varepsilon=0.01 :
\left\{\begin{array}{l} -10 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=-8 \\\ x_{1}+6 x_{2}=7 \\\\ -1 x_{1}+1 x_{2}+3 x_{3}=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e pede que o resolvamos pelo método de Gauss–Seidel com a aproximação inicial e a tolerância fornecidas. Dados relevantes:
\begin{cases} -10 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=-8,\\[4pt] x_{1}+6 x_{2}=7,\\[4pt] - x_{1}+ x_{2}+3 x_{3}=0, \end{cases}
a aproximação inicial
x^{(0)} = \begin{pmatrix}-2 \\[2pt] 1 \\[2pt] 0\end{pmatrix},
e a tolerância para o critério de parada
\varepsilon = 0{,}01.
As perguntas implícitas são: (1) aplicar o método de Gauss–Seidel a partir de x^{(0)} e (2) parar quando o critério com \varepsilon for satisfeito, retornando a aproximação final.]

Passo 2

Vou deduzir as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel isolando cada incógnita em função das outras (isso é o que se faz na prova):
Da primeira equação isolamos x_{1}:
-10x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-8 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{2x_{2}+2x_{3}+8}{-10} = -0{,}2\,x_{2}-0{,}2\,x_{3}-0{,}8.
Da segunda:
x_{1}+6x_{2}=7 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{7-x_{1}}{6} = \tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}x_{1}.
Da terceira:
- x_{1}+ x_{2}+3x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{x_{1}-x_{2}}{3}.
No método de Gauss–Seidel, em cada iteração usamos as componentes mais recentes assim que são obtidas: ao calcular x_{2}^{(k+1)} usamos x_{1}^{(k+1)} já calculado nesta mesma iteração, e ao calcular x_{3}^{(k+1)} usamos x_{1}^{(k+1)} e x_{2}^{(k+1)}.

Passo 3

Antes de iterar, verificamos condição de convergência padrão: diagonal dominante por linhas em módulo (isso garante convergência do Gauss–Seidel). Os módulos dos termos diagonais e somas das outras colunas são:
\begin{array}{l} \text{linha 1: } |a_{11}|=10,\quad |a_{12}|+|a_{13}|=2+2=4,\quad 10\ge 4,\\[4pt] \text{linha 2: } |a_{22}|=6,\quad |a_{21}|+|a_{23}|=1+0=1,\quad 6\ge 1,\\[4pt] \text{linha 3: } |a_{33}|=3,\quad |a_{31}|+|a_{32}|=1+1=2,\quad 3\ge 2. \end{array}
Como cada linha é estritamente dominante ou dominante suficiente, o método deve convergir para a solução única. Isso nos dá segurança para aplicar Gauss–Seidel.]

Passo 4

Escolho o critério de parada clássico usado em provas: parar quando a norma do máximo componente da diferença entre iterações sucessivas (norma infinito) ficar abaixo de \varepsilon. Ou seja, parar quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty} < \varepsilon.
Aqui \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|. Esse critério é simples de usar sem calculadora e é admissível na maioria das provas.

Passo 5

Agora faço as iterações começando em x^{(0)}=\bigl(-2,\,1,\,0\bigr)^{T}.
Iteração k=0 \to 1:
  • Calcular x_{1}^{(1)} usando x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)}:
x_{1}^{(1)} = -0{,}2\cdot 1 -0{,}2\cdot 0 -0{,}8 = -1{,}0.
  • Calcular x_{2}^{(1)} usando x_{1}^{(1)}:
x_{2}^{(1)} = \frac{7 - x_{1}^{(1)}}{6}=\frac{7 - (-1)}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx 1{,}333333.
  • Calcular x_{3}^{(1)} usando x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)}:
x_{3}^{(1)} = \frac{x_{1}^{(1)}-x_{2}^{(1)}}{3}=\frac{-1-\tfrac{4}{3}}{3}=\frac{-7/3}{3}=-\frac{7}{9}\approx -0{,}777778.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1 \\[2pt] \tfrac{4}{3} \\[2pt] -\tfrac{7}{9}\end{pmatrix}.
Diferença e norma infinito:
x^{(1)}-x^{(0)} = \begin{pmatrix}1 \\[2pt] \tfrac{1}{3} \\[2pt] -\tfrac{7}{9}\end{pmatrix}, \qquad \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty} = 1 \;>\; 0{,}01,
logo não paramos ainda.]

Passo 6

Iteração k=1 \to 2:
  • Calcular x_{1}^{(2)} usando x_{2}^{(1)},x_{3}^{(1)}. Usando frações para maior precisão:
x_{1}^{(2)} = -0{,}2\cdot\frac{4}{3} -0{,}2\cdot\Big(-\frac{7}{9}\Big)-0{,}8 = -\frac{41}{45}\approx -0{,}9111111111.
  • Calcular x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)} = \frac{7 - x_{1}^{(2)}}{6} = \frac{7 - \big(-\tfrac{41}{45}\big)}{6} = \frac{356}{270}=\frac{178}{135}\approx 1{,}3185185185.
  • Calcular x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)} = \frac{x_{1}^{(2)}-x_{2}^{(2)}}{3} = \frac{-\tfrac{41}{45}-\tfrac{178}{135}}{3} = -\frac{301}{405}\approx -0{,}7432098765.
Assim
x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}9111111111 \\[2pt] 1{,}3185185185 \\[2pt] -0{,}7432098765\end{pmatrix}.
Diferença com a iteração anterior:
x^{(2)}-x^{(1)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0888888889 \\[2pt] -0{,}0148148148 \\[2pt] 0{,}0345679013\end{pmatrix},
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}\approx 0{,}0888888889 \;>\; 0{,}01,
ainda não podemos parar.]

Passo 7

Iteração k=2 \to 3:
  • Calcular x_{1}^{(3)} usando x_{2}^{(2)},x_{3}^{(2)}. Mantendo precisão com frações chegou-se a
x_{1}^{(3)} = -\frac{1853}{2025}\approx -0{,}9153086420.
  • Calcular x_{2}^{(3)}:
x_{2}^{(3)} = \frac{7 - x_{1}^{(3)}}{6} \approx 1{,}3191646.
  • Calcular x_{3}^{(3)}:
x_{3}^{(3)} = \frac{x_{1}^{(3)}-x_{2}^{(3)}}{3} \approx -0{,}7448244.
Portanto
x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}9153086420 \\[2pt] 1{,}3191646 \\[2pt] -0{,}7448244\end{pmatrix}.
Diferença com a iteração anterior:
x^{(3)}-x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}004197531 \\[2pt] 0{,}0006460815 \\[2pt] -0{,}0016145275\end{pmatrix},
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx 0{,}004197531 \;<\; 0{,}01.
Como a norma infinito da diferença entre iterações consecutivas ficou menor que \varepsilon, o critério de parada é satisfeito e podemos aceitar x^{(3)} como aproximação final.]

Resposta

x \approx \begin{pmatrix}-0{,}9153086420 \\[2pt] 1{,}3191646 \\[2pt] -0{,}7448244\end{pmatrix}]

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