Encontre a fatoração Q R da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ -1 & -2 & 4 \\\\ 2 & 0 & 3 \\\\ -5 & -3 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a fatoração Q R da matriz A. A matriz dada é
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ -1 & -2 & 4 \\\\ 2 & 0 & 3 \\\\ -5 & -3 & 1 \end{bmatrix}.
O que se deseja é escrever A como produto
A = Q R,
onde Q é uma matriz com colunas ortonormais (ou seja, Q^{T}Q=I) e R é uma matriz triangular superior 3\times3.
Informações relevantes dadas: as entradas de A (listadas acima). Pergunta: encontrar explicitamente as matrizes Q (de tamanho 4\times3) e R (de tamanho 3\times3) que satisfazem A=QR.

Passo 2

Método escolhido e fórmulas fundamentais (Gram–Schmidt clássico). Vou aplicar o processo de Gram–Schmidt coluna a coluna nas colunas \,a_1,a_2,a_3 de A. Seja a_j a j-ésima coluna de A. O procedimento constrói vetores ortonormais q_1,q_2,q_3 e escalares r_{ij} usando as regras:
r_{11}=\|a_1\|,\qquad q_1=\frac{a_1}{r_{11}},
e para j\ge2:
r_{ij}=q_i^{T}a_j\quad\text{para }i=1,\dots,j-1, \qquad u_j=a_j-\sum_{i=1}^{j-1} r_{ij}q_i, \qquad r_{jj}=\|u_j\|, \qquad q_j=\frac{u_j}{r_{jj}}.
Explicando: r_{ij} é a componente de a_j na direção de q_i (produto interno), u_j é o resíduo ortogonalizado, e r_{jj} normaliza u_j. No fim Q=[q_1\\ q_2\\ q_3] e R=(r_{ij}) é triangular superior.

Passo 3

Calcular q_1 e r_{11}. A primeira coluna é
a_1=\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ 2\\\ -5\end{bmatrix}.
Calcular a norma:
\|a_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2+(-5)^2}=\sqrt{1+1+4+25}=\sqrt{31}.
Portanto
r_{11}=\sqrt{31}, \qquad q_1=\frac{1}{\sqrt{31}}\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ 2\\\ -5\end{bmatrix}.

Passo 4

Ortogonalizar a_2 em relação a q_1, calculando r_{12}, u_2 e r_{22}.
A segunda coluna é
a_2=\begin{bmatrix}2\\\ -2\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix}.
Calcular o produto interno a_1^{T}a_2:
a_1^{T}a_2 = 1\cdot2 + (-1)\cdot(-2) + 2\cdot0 + (-5)\cdot(-3) = 2+2+0+15 = 19.
Como r_{12}=q_1^{T}a_2=\dfrac{a_1^{T}a_2}{\|a_1\|}, temos
r_{12}=\frac{19}{\sqrt{31}}.
O vetor residual é
u_2 = a_2 - r_{12} q_1 = a_2 - \frac{19}{\sqrt{31}}\cdot\frac{a_1}{\sqrt{31}} = a_2 - \frac{19}{31}a_1.
Fazendo as contas componente a componente:
\frac{19}{31}a_1=\frac{19}{31}\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ 2\\\ -5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\tfrac{19}{31}\\[4pt]-\tfrac{19}{31}\\[4pt]\tfrac{38}{31}\\[4pt]-\tfrac{95}{31}\end{bmatrix},
a_2=\begin{bmatrix}\tfrac{62}{31}\\[4pt]-\tfrac{62}{31}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{93}{31}\end{bmatrix},
logo
u_2=a_2-\frac{19}{31}a_1=\frac{1}{31}\begin{bmatrix}43\\[4pt]-43\\[4pt]-38\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Agora a norma de u_2:
\|u_2\|^2=\frac{1}{31^2}\big(43^2+(-43)^2+(-38)^2+2^2\big) =\frac{1}{961}\cdot 5146 =\frac{166}{31},
portanto
r_{22}=\|u_2\|=\sqrt{\frac{166}{31}}=\frac{\sqrt{5146}}{31}.
E assim
q_2=\frac{u_2}{r_{22}} =\frac{\tfrac{1}{31}\begin{bmatrix}43\\\ -43\\\ -38\\\ 2\end{bmatrix}} {\tfrac{\sqrt{5146}}{31}} =\frac{1}{\sqrt{5146}}\begin{bmatrix}43\\\ -43\\\ -38\\\ 2\end{bmatrix}.]

Passo 5

Ortogonalizar a_3 em relação a q_1 e q_2, calculando r_{13},r_{23},u_3,r_{33}.
A terceira coluna é
a_3=\begin{bmatrix}3\\\ 4\\\ 3\\\ 1\end{bmatrix}.
Primeiro r_{13}=q_1^{T}a_3. Calcular a_1^{T}a_3:
a_1^{T}a_3 = 1\cdot3 + (-1)\cdot4 + 2\cdot3 + (-5)\cdot1 = 3-4+6-5=0,
logo
r_{13}=\frac{0}{\sqrt{31}}=0.
Agora r_{23}=q_2^{T}a_3. Como q_2=\dfrac{1}{\sqrt{5146}}[43,-43,-38,2]^{T},
r_{23}=\frac{1}{\sqrt{5146}}\big(43\cdot3 + (-43)\cdot4 + (-38)\cdot3 + 2\cdot1\big) =\frac{-155}{\sqrt{5146}}.
O residual é
u_3 = a_3 - r_{13}q_1 - r_{23}q_2 = a_3 - r_{23}q_2 = a_3 - \frac{-155}{\sqrt{5146}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5146}}\begin{bmatrix}43\\\ -43\\\ -38\\\ 2\end{bmatrix}.
Note que \dfrac{-155}{\sqrt{5146}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5146}}=\dfrac{-155}{5146}=-\dfrac{5}{166}. Portanto
u_3 = a_3 + \frac{5}{166}\begin{bmatrix}43\\\ -43\\\ -38\\\ 2\end{bmatrix}.
Fazendo as contas (colocando tudo sobre denominateur 166):
u_3=\frac{1}{166}\begin{bmatrix}713\\[4pt]449\\[4pt]308\\[4pt]176\end{bmatrix}.
Calcular a norma:
\|u_3\|^2=\frac{1}{166^2}\big(713^2+449^2+308^2+176^2\big) =\frac{835810}{166^2}=\frac{5035}{166},
portanto
r_{33}=\|u_3\|=\sqrt{\frac{5035}{166}}=\frac{\sqrt{835810}}{166}.
Assim
q_3=\frac{u_3}{r_{33}} =\frac{\tfrac{1}{166}\begin{bmatrix}713\\\ 449\\\ 308\\\ 176\end{bmatrix}} {\tfrac{\sqrt{835810}}{166}} =\frac{1}{\sqrt{835810}}\begin{bmatrix}713\\\ 449\\\ 308\\\ 176\end{bmatrix}.]

Passo 6

Reunir os vetores q_1,q_2,q_3 e os escalares r_{ij} em Q e R.
As colunas de Q são q_1,q_2,q_3:
Q=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{31}} & \frac{43}{\sqrt{5146}} & \frac{713}{\sqrt{835810}}\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{31}} & -\frac{43}{\sqrt{5146}} & \frac{449}{\sqrt{835810}}\\[6pt] \frac{2}{\sqrt{31}} & -\frac{38}{\sqrt{5146}} & \frac{308}{\sqrt{835810}}\\[6pt] -\frac{5}{\sqrt{31}} & \frac{2}{\sqrt{5146}} & \frac{176}{\sqrt{835810}} \end{bmatrix}.
A matriz R triangular superior tem entradas
r_{11}=\sqrt{31},\qquad r_{12}=\frac{19}{\sqrt{31}},\qquad r_{13}=0,
r_{22}=\frac{\sqrt{5146}}{31},\qquad r_{23}=-\frac{155}{\sqrt{5146}}, \qquad r_{33}=\frac{\sqrt{835810}}{166}.
Portanto
R=\begin{bmatrix} \sqrt{31} & \dfrac{19}{\sqrt{31}} & 0 \\[6pt] 0 & \dfrac{\sqrt{5146}}{31} & -\dfrac{155}{\sqrt{5146}} \\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{\sqrt{835810}}{166} \end{bmatrix}.]

Resposta

Q=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{31}} & \frac{43}{\sqrt{5146}} & \frac{713}{\sqrt{835810}}\\[6pt] -\frac{1}{\sqrt{31}} & -\frac{43}{\sqrt{5146}} & \frac{449}{\sqrt{835810}}\\[6pt] \frac{2}{\sqrt{31}} & -\frac{38}{\sqrt{5146}} & \frac{308}{\sqrt{835810}}\\[6pt] -\frac{5}{\sqrt{31}} & \frac{2}{\sqrt{5146}} & \frac{176}{\sqrt{835810}} \end{bmatrix}, \qquad R=\begin{bmatrix} \sqrt{31} & \dfrac{19}{\sqrt{31}} & 0 \\[6pt] 0 & \dfrac{\sqrt{5146}}{31} & -\dfrac{155}{\sqrt{5146}} \\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{\sqrt{835810}}{166} \end{bmatrix}.]

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